Системи координат

Зазвичай для опису простору використовується найбільш проста система координат, звана прямокутної. Її ще називають декартовій по імені французького вченого Рене Декарта, який вперше запропонував її в 1637 р (рис. 33, 34). У цій системі визначається точка, яка називається початком координат або точкою відліку.

 

У цій точці перетинаються три взаємно перпендикулярні прямі, одна з яких називається віссю абсцис, або віссю х, друга – віссю ординат (віссю у), а третя – віссю аплікат (віссю z). Очевидно, що в тому просторі, де ми мешкаємо, більше число взаємних перпендикулярів побудувати неможливо. Тому наш простір називають тривимірним. У фізиці та математиці часто розглядаються простору з великим числом вимірів: від чотиривимірного простору-часу Маньківського до просторів, що мають нескінченне число вимірювань у квантовій фізиці. Однак наочно уявити собі простір, де є більше трьох вимірів, неможливо. Можна, навпаки, зменшити число координат до двох, обмежившись тільки осями абсцис і ординат, і отримати систему координат на площині. Ми вже мали справу з такою системою в § 8, коли знайомилися з побудовою графіків. Повна ж система координат, що описує становище будь-якої точки в просторі, є тривимірною. Для того щоб визначити місцезнаходження цієї точки, треба знати три числа, що позначають проекції [6] цієї точки на осі абсцис, ординат і аплікат (x, у, z). Суму величин p → = xi → + yj → + zk → називають вектором, що визначає положення точки в просторі. Оскільки осі координат являють собою нескінченні прямі і кожна з них поширюється в обидві сторони від початку координат, то x, y і z можуть мати як позитивні, так і негативні значення.
Відстань між двома точками в евклідовому просторі визначають за допомогою теореми Піфагора. Дивлячись на малюнок, можна легко переконатися в тому, що на площині відстань між двома будь-якими точками дорівнює:
√¯х2 + y2,
а в просторі:
√¯x2 + у2 + z2.
У деяких випадках використовують не прямокутні, а інші системи координат, наприклад циліндричну і сферичну. Циліндрична система будується наступним чином. Припустимо, нам потрібно визначити положення точки М (рис. 35, А). Нехай в просторі задана декартова прямокутна система координат Oxyz і R – відстань від точки М до координатної осі Oz.

Тоді однією з координатних поверхонь (R = const), що проходять через точку М, є циліндрична поверхня обертання з віссю Oz і радіусом R (тому координати точки М називаються циліндричними). Якщо при цьому 0 – кут, який площина, що проходить через точку М і координатну вісь Oz, утворює з координатної площиною Oxz, то циліндричними координатами точки М є впорядкована трійка чисел (R; θ; Z), де Z – проекція М на вісь Oz .
Сферична система координат використовується в астрономії та навігації. Для визначення положення точки необхідно знати її відстань від початку координат – центру сфери (т. Е. Радіус сфери) і два кути (рис. 35, Б). Спробуйте самі побудувати таку систему, скориставшись наведеним малюнком.
Властивості простору.
Згідно сучасним уявленням, простір є однорідним, т. Е. При всіх інших рівних умов, наприклад при дії однакових сил, всі фізичні процеси протікають однаково в будь-якій точці простору.
Іншим властивістю простору є його изотропность, або изотропия, – відсутність в просторі будь-якого виділеного напрямку. У Всесвіті немає «верху і низу» або «права і ліва». Якщо будь-яку систему повернути на будь-який кут, ніякі фізичні процеси в ній не зміняться. Деякі закони механіки засновані саме на тому, що простір має властивість ізотропності.
Перевірте свої знання
1. Ким була створена перша геометрія?
2. Як називаються осі в декартовій системі координат?
3. Яким чином можна визначити вектор?
4. Що означають поняття «однорідність простору»; «Ізотропних простору»?
5. Яка система координат (дво- або тривимірна) використовується при знятті електроенцефалограми та електрокардіограми?

Посилання на основну публікацію