Неевклідові геометрії

Основоположні евклідової геометрії здаються інтуїтивно самоочевидними, в той час як основоположні геометрій Лобачевського і Рімана кидають виклик просторової інтуїції. Однак спробуємо зрозуміти ту логіку, яка зробила можливим виникнення неевклідових геометрій.
1. Існує такий розділ геометрії, як абстрактна геометрія, терміни якої (точки, прямі, площини і т. Д.) Взагалі позбавлені наочного змісту. «Точка» в рамках абстрактної геометрії задається впорядкованої трійкою дійсних чисел (перетином трьох координат), «пряма» – двома лінійними рівняннями, «площину» – одним лінійним рівнянням. Таким чином, в рамках абстрактної геометрії математика продовжує працювати навіть там, де буксує уяву, і допущення всякого роду «немислимих» просторів тут означає лише те, що вони піддаються настільки ж несуперечливого опису, як і наочно представимо.
2. Крім того, існує інтерпретація неевклідових геометрій в рамках такого розділу геометрії, як фізична геометрія, яка дозволяє створити наочні моделі просторів М. І. Лобачевського і Б. Рімана. У фізичній геометрії лінії, які відповідають прямим, – це геодезичні лінії. У них з прямими є те спільне властивість, що геодезичні, як і прямі, є найкоротшим відстанню між двома точками на даній поверхні. Моделлю простору М. І. Лобачевського є сідлоподібна поверхню, а моделлю простору Б. Рімана – поверхня сфери. Якщо ми в якості прямих візьмемо геодезичні на сідлоподібної поверхні, то ми легко уявімо собі всі зазначені в таблиці властивості геометрії М. І. Лобачевського. А геодезичні на поверхні сфери допоможуть представити нам властивості геометрії Б. Рімана.
Але все ж справа йде не так просто. Ми легко можемо уявити собі сідловидну поверхню або поверхню сфери. Але ці поверхні не є площинами. А між тим неевклідова поверхня являє собою все-таки якусь неймовірну площину в тому сенсі, що структура одного її боку точно схожа на структуру іншого її боку. Таким чином, простору М. І. Лобачевського і Б. Рімана залишаються наочно неймовірними. Крім того, поверхня Б. Рімана відрізняється від звичайної сферичної поверхні ще й тим, що ця «сфера» має не два, а всього один полюс. Пересування від Північного полюса до Південного на Землі буде відповідати поверненню в ту ж саму точку в просторі Б. Рімана.
Між трьома геометриями існує таке важливе з точки зору космології відмінність, що простору Евкліда і Лобачевського нескінченні, а простір Рімана – звичайно. У світі Рімана всі геодезичні лінії є замкнутими. Астронавт, мандрівний по геодезичної лінії в світі Рімана, що не буде летіти нескінченно, повернеться в кінці кінців в ту ж точку.

Посилання на основну публікацію