Імовірність

У житті нам часто доводиться стикатися зі спостереженнями чи випробуваннями, результати яких неможливо передбачити, тому що вони залежать від різних обставин, які ми не знаємо чи не можемо врахувати. Часто ми говоримо, що якась подія швидше за все відбудеться або, навпаки, що його наступ малоймовірно. «Навряд чи завтра буде дощ» або «Швидше за все, ми наступного тижня поїдемо на дачу». Що стоїть за цими висловлюваннями і чи можна їх висловити в строгій математичній формі? Ідея про те, що можна якось виміряти значення подій, які ще не відбулися, але в принципі можуть відбутися, виникла, як не дивно, у зв’язку з вивченням закономірностей виграшів в азартних іграх, таких як карти або кістки (рис. 195) . Неможливо передбачити, яка карта буде вийнята з перетасованої колоди або скільки очок виявиться на верхній грані впала кістки. Однак можна помітити, що якщо ми будемо багато разів витягувати картки, то туз бубон з’явиться майже точно стільки ж разів, скільки і трійка треф. Кількість випали шісток на кістки буде майже точно такий же, як і кількість одиниць.

У цих випадках говорять, що всі карти колоди або всі грані кубика мають рівну ймовірність бути вийнятими або викинутими.
Назвемо подія, яка в даний час нас цікавить, сприятливим. Наприклад, такою подією буде випадання шістки на гральної кістки. Якщо ми будемо кидати кістку багато разів, то побачимо, що відношення числа сприятливих подій до загального числа подій, т. Е. До всіх результатами кидання кістки, залишатиметься постійним. (В даному випадку воно буде дорівнює 1/6.) Це відношення називають ймовірністю настання сприятливого події. Для того щоб правильно визначити ймовірність, потрібно провести дуже багато випробувань. Якщо ми кинемо кістка один раз, то число сприятливих подій може бути тільки нулем або одиницею. Якщо кинути кістку два рази, то дуже можливо, що шістка чи не випаде жодного разу, хоча цілком може статися, що вона виявиться зверху в обох випадках. Тому ймовірністю, строго кажучи, треба називати межа відносини сприятливих подій до загального числа подій, коли загальна кількість подій прагне до нескінченності. Зважаючи на те що число сприятливих подій не може бути менше нуля і більше числа всіх подій, імовірність являє собою число, яке може приймати значення від 0 до 1. У математиці ймовірність зазвичай виражається буквою р, так що 0 ≤ р ≤ 1. Подія, ймовірність якого дорівнює нулю, називаються неможливим, а то, вірогідність якого дорівнює одиниці, – достовірним.
Такий спосіб визначення ймовірності називають емпіричним, він вимагає проведення великого числа випробувань або спостережень. У деяких випадках без нього неможливо оцінити ймовірність тієї чи іншої події. Наприклад, для того щоб дізнатися ймовірність того, що 1 червня наступного року буде сонячний день, необхідно взяти результати метеорологічних спостережень для 1 червня за багато десятків років, знайти, скільки разів в цей день була ясна погода, і розділити це число на кількість років, протягом яких проводилися спостереження.
Однак у багатьох випадках ймовірність події можна визначити, не проводячи випробувань, на основі тільки теоретичних міркувань. У нас немає ніяких підстав думати, що шістка, як і будь-яке інше число очок, буде випадати частіше за інших. Тому можна заздалегідь стверджувати, що ймовірності випадання всіх шести можливих варіантів рівні між собою і, отже, рівні 1/6. Якщо ми витягуємо навмання карту з повної колоди, то ймовірність того, що вона буде чирвової, дорівнює j, точно такий же, як і для будь-якої іншої масті. Якщо ми багато разів будемо виймати по карті (назвемо це дія випробуванням), а потім кожен раз повертати її назад і перетасовувати колоду, то результат достатньої кількості випробувань буде такою: 1/4 черв’яків, 1/4 бубон, 1/4 треф і 1 / 4 пік. Якщо ж результат виявиться іншим, то це буде означати, що масті в колоді знаходяться не в рівній кількості, т. Е. Що колода «неправильна».

Точно так само, якщо на гральної кістки якесь число буде випадати частіше або рідше, ніж в однієї шостої випадків, ми можемо бути впевненими, що кістка бракована. Якщо всі можливі події мають однакові ймовірності, їх називають рівноімовірними. Якщо число таких подій дорівнює N, то ймовірність кожного з них дорівнює 1 / N.
Однак далеко не завжди ми маємо справу з рівноімовірними подіями, можна навіть сказати, що частіше буває навпаки. Розглянемо простий приклад. У нас є ящик (в теорії ймовірності він називається урною), в якому знаходиться 10 ретельно перемішаних куль, з яких 5 білих, 3 чорних і 2 червоних (рис. 196). Виймемо навмання одну кулю. Питається, яка ймовірність витягти кулю певного кольору? Очевидно, що ми маємо 5 шансів з 10 вийняти біла куля, 3 – чорний і 2 – червоний, т. Е. Імовірності вийняти білий, чорний і червоний куля рівні, відповідно, 0,5, 0,3 і 0,2. Події, які полягають у витягу білого, чорного або червоного кулі, називають несумісними, оскільки неможливо, щоб вийнятий кулю був одночасно білим і червоним.
Тепер уявімо собі, що нас цікавить ймовірність того, що вийнятий куля буде або білим, або червоним. Оскільки в урні є 7 куль, що задовольняють нашу вимогу, то і ймовірність такої події буде дорівнює 0,7. Але 0,7 = 0,5 + 0,2. Звідси випливає висновок: вірогідність того, що станеться якесь із несумісних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Припустимо, ми хочемо дізнатися ймовірність того, що кинута кістка покаже число очок, що ділиться на 3. Цій умові відповідають 3 і 6 очок. Так як ймовірність випадання кожного з них дорівнює 1/6, то цікавить нас ймовірність буде равна1 / 6 + 1/6 = 1/3
Тепер визначимо ймовірність того, що цікавить нас не відбудеться. У прикладі з урною ми хочемо знати ймовірність того, що вийнятий Куля не буде корисним. Очевидно, що тут ми має справу з двома несумісними подіями: куля буде або червоним, або не червоним. Імовірність першої події дорівнює 0,2, а ймовірність другого 0,5 + 0,3 = 0,8. Значить, з імовірністю 0,8 ми виймемо з скриньки не червону кулю. Звернемо увагу на те, що сума ймовірностей всіх можливих несумісних подій дорівнює 1. Це цілком очевидно, оскільки зрозуміло, що якусь подію з усього набору можливих відбудеться напевно. Цей факт достовірний, а тому його ймовірність дорівнює 1. Але ймовірність того, що яке-небудь з усіх можливих подій відбудеться, дорівнює сумі їх ймовірностей і, отже, ця сума ймовірностей дорівнює 1. Звідси випливає, що ймовірність того, що якесь подія не настане, дорівнює 1 мінус ймовірність того, що воно настане, тому що або те, або інше станеться напевно: р (А) + р (Неа) = 1.
Для того щоб все це краще зрозуміти, вирішимо просту задачу. Через зупинку проходять автобуси трьох маршрутів. Відомо, що за першим маршрутом курсує 15 автобусів, по другому – 20, а по третьому – 25. Вам потрібен автобус другого маршруту. Яка ймовірність того, що перший прийшов автобус вас не влаштує?
Для того щоб полегшити вирішення, вдамося до аналогії із завданням про кулях в урні. Умови нашого завдання рівносильні тим, коли в урні знаходиться 15 білих куль, 20 чорних і 25 червоних. Разом 60 куль. Яка ймовірність того, що першим буде вийнято НЕ чорний куля? Імовірність вийняти біла куля (перший маршрут) дорівнює р (Б1) = 15/60 = = 3/12. Імовірність вийняти чорний куля (ваш другий маршрут) дорівнює р (Ч2) = 20/60 = 4/12. Імовірність же вийняти червоний куля (третій маршрут) дорівнює р (К3) = 25/60 = 5/12. Якщо ймовірність того, що перший маршрут виявиться вашим, р (Ч2) = 4/12, то ймовірність протилежної події, т. Е. Того, що вам не пощастить, повинна дорівнювати 1 – 4/12 = = 8/12. Перевіримо. Якщо автобус виявився не вашим, значить, він належить або першим, або третіх маршрутом. Імовірність того, що прийде один з них р (Б1 або К3) дорівнює р (Б1) + р (К3) = 3/12 + 5/12 = 8/12, що і збігається з отриманим нами результатом.
Перевірте свої знання
1. Від чого залежить точність визначення емпіричної ймовірності сприятливого події?
2. Чому дорівнює ймовірність кожного з рівноймовірно подій, якщо загальне число таких подій дорівнює N?
3. Які події називаються несумісними? Яка ймовірність того, що настане хоча б одне з двох несумісних подій, ймовірності яких дорівнюють P і Q? Чому дорівнює ймовірність того, що подія з імовірністю Р не наступить?

Посилання на основну публікацію