Логарифмічні рівняння

Рішення логарифмічних рівнянь дуже заплутаний і складний математичний процес. Для того щоб знайти правильну відповідь, необхідно слідувати певним правилам від простої маніпуляції до складної. Використовуються властивості ступенів, приватного та логарифмічних творів. Якщо рівняння містить логарифми з різними підставами, то їх потрібно звести до однакового значенням.

В першу чергу при вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно знайти область допустимих значень (ОДЗ). Це робиться тому, що в процесі рішення можуть з’являтися сторонні корені, які при закінченні рішення необхідно перевірити на приналежність ОДЗ. Якщо рішення проводиться без використання ОДЗ, тоді рішення обов’язково перевіряється. До найпростіших логарифмическим рівнянням відносяться рівняння типу:

log3х = log39; log7 (30х-1) = 2; logх-19 = 1

та інші. Для знаходження відповіді рівняння потрібно позбутися логарифма. Розглянемо рішення на прикладі такого рівняння:

log3х = log39

позбавляємося від логарифма, в результаті чого отримуємо х = 9. Цей спосіб, потенцирование, є одним з головних при вирішенні нерівностей або рівнянь такого типу. Однак таку операцію можна проводити тільки за умови, якщо рівняння має числові підстави однакові, логарифм одиночний і стоїть без коефіцієнтів. Наприклад:

log3х = 2log3 (3х-1)

В даному рівнянні прибрати логарифм заважає двійка, яка знаходиться праворуч. Рівняння

log3х + log3 (х + 1) = log3 (3 + х)

також не дозволяє позбутися логарифма, так як зліва логарифм не поодинокий. Тобто логарифми можна прибирати в тому випадку, якщо рівняння виглядає таким чином logа (…..) = logа (…..). після того як зникає логарифм залишається для вирішення показові лінійне, дробове, квадратне або інше рівняння:

log7 (3х-5) = log7х; 3х-5 = х; х = 5

Вирішимо інший приклад:

«Навіть у математиці вона потрібна, навіть відкриття диференціального й інтегрального числень неможливо було б без фантазії. Фантазія є якість найбільшої цінності ».
В. І. Ленін
log6 (50х-1) = 2

Так як зліва знаходиться логарифм Log7 (50х-1), з якого потрібно вивести підстава, тобто 7, для того щоб в результаті вийшло рівняння без логарифма 50х-1. Відповідно до рівняння дане число дорівнює двом: 72 = 50х-1 – логарифм зник 50х-1 = 49, відповідь х = 1. Рівняння такого типу можна вирішувати, посилаючи тільки на зміст самого логарифма, так як його можна зробити з будь-якого натурального числа, але рішення таким способом не говорить про те, що за таким же прикладом ви зможете вирішити абсолютно всі логарифмічні рівняння.

Посилання на основну публікацію