Диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння – це рівняння, які пов’язують значення деяких невідомих функції в точці і значення її похідних порядків в тій же точці.
Найпоширенішими управліннями є рівняння першого порядку і приватних похідних. Диференціальні рівняння містять в собі змінні і числа, наприклад 3х = 12. Серед рівнянь першого порядку найчастіше зустрічаються рівняння:

  • З перемінними;
  • Однорідні;
  • Неоднорідні.

У таких рівняннях присутня одна невідома функція (тільки в деяких випадках х або (і) у можуть бути відсутніми). Співвідношення F (x, у, у ‘) = 0 або (рис. 1), де штрих означає диференціювання по х. така незалежна змінна як х часто інтерпретується, тому її ще позначають як t. Змінна у – це деяка величина, яка з часом може змінюватися. Вона, наприклад, в деяких випадках може позначати набір координат якоїсь точки в просторі, тобто зміни її координат з часом.

Диференціальне рівняння в приватних похідних – це рівняння, які містять невідомі функції з декількома змінними і їх приватні похідні.
Існує характеристика такого рівняння:

Кількість змінних функцій повинно бути не менше 2;
Лінійні рівняння (з постійними або відомими коефіцієнтами) і нелінійні. У приватних похідних лінійні рівняння другого порядку підрозділяють на
«Математика існує не для того, щоб нав’язувати кому-небудь важку роботу. Навпаки, вона існує тільки для задоволення. Для задоволення тих, хто любить аналізувати те, що він робить, або може зробити, або те, що вже зробив в надії зробити це ще краще ».
Роберт Брінгхерст.
гіперболічні, параболічні та еліптичні;
Неоднорідності в присутності доданка, яке не залежить від невідомої функції;
Порядок рівняння визначається максимальним порядком похідної.
Найпростіші рівняння зустрічалися ще в роботах Г. Лейбніца та І. Ньютона. Саме Лейбніц належить термін «диференціальні рівняння». Ньютон під час створення числень «флюксий» і «флюент» прагнув визначити такі співвідношення: між флюентами співвідношенні флюксий і між флюксіями співвідношенні флюент.

З сучасної точки зору друга з цих завдань (обчислення за функціями їх похідних) відноситься до диференціального числення. Ньютон знаходження інтеграла F (x) функції f (x) розглядав як окремий випадок його першого завдання. Для творця математичних основ такий підхід був цілком виправданий. Перше ж рівняння в приватних похідних було виявлено в статтях Ейлера на тему теорії поверхонь (в 1734-1735 роках).

Посилання на основну публікацію