1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Освіта
  3. Аксіома паралельних прямих

Аксіома паралельних прямих

Наприклад, дано завдання провести дві паралельні прямі, причому так, щоб через дану точку М проходила хоча б одна з прямих. Таким чином, через задану точку М проведемо взаємно перпендикулярні прямі МN і СD. А через точку N проведемо другу пряму АВ, вона повинна бути перпендикулярної до прямої МN.

Зробимо висновок: пряма АВ перпендикулярна до прямої МN і пряма СD теж перпендикулярна в прямій МN, а так як дані прямі паралельні до однієї прямої, то, як наслідок пряма СD паралельна АВ. Значить, через точку М проходить пряма СD, яка паралельна прямій АВ. Дізнаємося: чи можна провести ще одну пряму через точку М, щоб вона була паралельна прямій АВ?

Дане твердження є відповіддю на наше запитання: через точку на площині, яка не лежить на даній прямій, можна провести всього одну пряму, яка буде паралельна до даної прямої. Таке відкидання в іншому формулюванні без доказів ще в давні часи прийняв вчений Евклід. Відомо, що такі твердження, прийняті без доказу, називають аксіомами.

Вищеописане твердження називається аксіомою про паралельні прямі. Дана аксіома Евкліда має величезне значення для доказу багатьох теорем.

Розглянемо зворотну теорему. Якщо пряма перетинає паралельні прямі, то і кути, що лежать при паралельних прямих навхрест, відповідно рівні.

Доказ: допустимо, що АС і ВD є паралельними прямими, тоді пряма АВ є їх січною прямою. Нам потрібно довести, що ?САВ = ? АВD.

Нам потрібно провести так пряму АС1, щоб ?С1АВ = ?АВD. Відповідно до аксіомою паралельності прямих АС1 || ВD, в умові ж ми маємо АС || ВD. А це означає, що через дану точку А проходять дві прямі, причому вони паралельні прямій ВD. Виходить протиріччя аксіомі паралельності прямих, а це означає, що пряма АС1 проведена невірно.

Правильно буде, якщо ?САВ = ?АВD. Зробимо висновок: у тому випадку, коли однією з паралельних прямих перпендикулярна дана пряма, то вона буде перпендикулярна і до другої прямої.

Виходить, якщо (MN) ^ (CD) і (CD) || (AB), то ?1 = ?2 = 90о. А це означає: (MN) ^ (AB) (Рис. 1).

Доведемо теорему: якщо дві прямі є паралельними до третьої, то вони будуть паралельні одна до другої.

Нехай пряма a паралельна прямій с і пряма b теж паралельна прямій с (рис. 4 а). Нам потрібно довести, що a || b.

Припустимо, що прямі a і b не є паралельними, але вони перетинаються в точці М (рис. 4 б). А це означає, що дві прямі a і b, які паралельні до прямої з проходять через одну точку, а це повне протиріччя аксіомі паралельності прямих. Значить наші прямі a і b паралельні.

ПОДІЛИТИСЯ: