Ряд Фібоначчі і принцип золотого перерізу

З історією принципу золотого перетину непрямим чином пов’язане ім’я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під ім’ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував по Сходу, познайомив Європу з арабськими цифрами. У 1202 г вийшов у світ його математична праця «Книга про абаці» (лічильної дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань свідчила «Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться». Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі вибудував ряд цифр (таблиця 2.3).

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її елемент, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до пропорцій золотого перетину. Так 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення – 0,618: 0,382 – дає безперервне поділ відрізка прямої в золотій пропорції, тобто його збільшення або зменшення до безкінечності (менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до цілого). Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню принципу золотого перетину.

Фібоначчі числа – елементи послідовності і1гі2, …, задаються початковими значення Uj = і2 = 1 і рекурентним співвідношенням і “-І + ип-2 + un Дії, що виконуються над індексами Фібоначчі чисел, можуть бути зведені до дій над самими числами, в основі цього лежить формула: um + n = Um-jUn + UmUn + J. Її безпосередніми наслідками є: U2n = Un (Un-1 + un + 1), u3 n = u n + 1 un – u n-1.

Фібоначчі метод – різновид одновимірного пошуку екстремуму функцій шляхом послідовного звуження інтервалу невизначеності. Єдине обмеження, що накладається на досліджувану

функцію f (x) (xe (a0, bo) з R1), – вимога суворої унімодальне на заданому інтервалі. При послідовному звуженні значення f (x) обчислюються в заздалегідь обмеженому числі п пробних точок. У результаті виходить послідовність сужающихся інтервалів невизначеності, що містять шуканий екстремум: (a0, b0) з (a1, b1) з … з (an, bn). Щоб звузити інтервал невизначеності для довільної суворо унімодальної функції, потрібно знати не менше двох її пробних значень. У Фібоначчі метод всередині кожного поточного інтервалу невизначеності (а’bi) підбираються рівно дві пробні точки симетрично від середини інтервалу. Далі, від однієї з пробних точок відкидається кінець інтервалу з найгіршими значеннями f (x). Виходить (at + 1, bt + 1), де на додаток до залишилася старою пробної точці симетрично будується нова.

У найпростішому варіанті Фібоначчі метод (коли передбачається, що пробні точки і пробні значення f (x) визначаються абсолютно точно), щоб звузити вихідний інтервал невизначеності з А до т, треба взяти число n пробних точок з нерівності 2A / Fn <Fn + 2. З урахуванням поправок на точність визначення значень функції вищенаведена оцінка дещо ускладнюється.

Це дає підставу ввести метод золотого перетину – варіант Фібоначчі методу, де Ai + 1 = т А1, тобто пробні точки здійснюють золотий перетин поточного інтервалу. Перевага останнього методу полягає в тому, що число пробних точок заздалегідь планується.

Були розроблені модифікації методу для нефінітних функцій, для скорочення обчислень при рівності f (x) у двох пробних точках, для підвищення стійкості рахунки та ін.

ПОДІЛИТИСЯ: