Основи теорії опціонів

Як вже було сказано, для оцінки опціону необхідно володіти інформацією про значення вартості базисного активу в очікуваний майбутній момент виконання. У теорії і практиці оцінки фінансових опціонів це завдання вирішується за допомогою аналізу стохастичних (випадкових) процесів зміни ціни активу в минулому.

До появи моделі Black & Scholes вартість опціону визначалася шляхом дисконтування (приведення) очікуваного значення вартості базисного активу в момент виконання опціону на даний момент часу. При цьому процентна ставка дисконтування відображала ризик, пов’язаний з можливим негативним відхиленням майбутнього значення базисного активу від розглянутого. Сучасні підходи до оцінки опціонів засновані на стохастичних розрахунках, що дозволяють визначити імовірнісний розподіл майбутніх значень вартості базисного активу і, таким чином, що дозволяють використовувати безризикову ставку дисконту.

Дані підходи засновані на теорії випадкових процесів А.А. Маркова. Центральної є концепція, згідно з якою для визначення майбутньої ціни активу необхідно знати його справжню вартість, а також стохастичні процеси, що описують параметри, що впливають на зростання вартості активу.

А.А.Марков (1856 – 1922) вважається засновником теорії стохастичних процесів. Він розглядав стохастичний процес як послідовність окремих змінних. М.В. Кремів дає наступне математичне визначення ланцюга Маркова:

Нехай G – є певний експеримент, який має кінцеве або рахункове безліч результатів (Е1, Е2, …). Припустимо, що ми нескінченно повторюємо експеримент G. Номер результату n-го експерименту позначимо Xn. Якщо ймовірність значення EXn при фіксованому результаті Ех J експерименту з номером n-1 не залежить від результатів інших n-2 випробувань, то кажуть, що ця послідовність утворює ланцюг Маркова (Кремів М.В).

Іншими словами, кожна наступна змінна в ланцюзі Маркова залежить від попередньої, але є незалежною від змінної попередньої попередньої. У результаті виходить ланцюг випадкових величин, ймовірність кожної з яких визначається тільки значенням попередньої величини, а вся траєкторія зміни значень визначається перехідною ймовірністю (імовірність настання події В за умови, що подія А наступило). Для даного процесу характерно тільки поступальний рух. Теорія Маркова є основою біномінальної моделі оцінки опціонів.

Дана теорія отримала розвиток в роботах Н. Вейнера (1894- 1964), який на відміну від Маркова, розглядав стохастичний процес як безперервний рух, не розглядаючи окремі величини. Стохастичний процес, досліджуваний Вейнером, отримав назву «Броунівський рух» 1.

Броунівський рух є поступальним: якщо прокреслити лінію тренда через графічне відображення змінюються з часом значень параметра, описуваного процесом, то дана лінія буде висхідній. Крім того, з часом величина відхилень параметрів від лінії тренду лінійно збільшується (MA Brach, 20-21).

Вищевказані затвердження наочно підтверджуються графіком динаміки зміни індексів NASDAQ, S & P 500 і Dow Jones в 1985-2005 рр. (Рис 4).

У 2000 р відбувся різкий обвал індексу NASDAQ, викликаний падінням котирувань акцій високотехнологічних компаній. За рік індекс впав на 39% і спричинив за собою, хоча і меншою мірою, падіння інших індексів. Даний стрибок не вкладається в теорію Маркова, його, швидше, можна віднести до розряду форс-мажору. В цілому, якщо не враховувати різке падіння індексу в 2000 р, він відповідає основним характеристикам теорії Маркова. Проте не можна заперечувати можливість таких різких і непередбачуваних змін реальної ситуації. Можливість стрибкоподібного зміни цін, викликаного непослідовним надходженням інформації, є одним з найважливіших аргументів критиків моделей оцінки вартості опціонів, заснованих на припущенні про логнормальний розподіл вартості базисного активу.

Чергове значення підвищується або знижується в порівнянні з попереднім. При цьому величина значення передує попередньому не робить впливу на нове значення. З плином часу спостерігається позитивний тренд, а відхилення значень від лінії тренду збільшуються.

Необхідно зробити невелике пояснення. При уважному читанні даної глави, можуть виникнути сумніви в об’єктивності твердження про висхідному тренді і збільшенні відхилень значень параметрів стохастичного процесу. Адже в реальності, якщо розглядати динаміку зміни вартості акцій конкретної компанії, може спостерігатися як висхідний, так і спадний тренд, аж до знецінення акції та банкрутства компанії. Поясненням цього факту є те, що в теорії опціонів Броунівський рух описує лише зовнішні фактори невизначеності, оскільки саме вони є визначальними у підвищенні опціонної вартості.

J. Brautigam & C. Esche, (5-6), грунтуючись на попередніх дослідженнях в області реальних опціонів, виділяють невизначеність двох типів при прийнятті управлінських рішень: ендогенна (технічна невизначеність) і екзогенна (невизначеність ринків). Ендогенна невизначеність відноситься до внутріорганізаційних факторам і може бути диверсифікована допомогою створення портфеля проектів або товарів / послуг. Екзогенна невизначеність є характеристикою ринку, що впливає на допустимі характеристики проектів або товарів / послуг і, отже, лише частково може бути диверсифікована допомогою використання портфельного підходу. Ендогенна невизначеність впливає на можливість створення опціону, в той час як екзогенна невизначеність обумовлює його вартість. Детальніше характеристика параметра невизначеності буде дана при розгляді моделі Блека і Скоулс. Висхідний тренд і збільшення відхилення значень параметрів стохастичного процесу завжди характерно для екзогенної невизначеності (рис 4).

Ще одним поясненням збільшення волатильності з плином часу є той факт, що в опціонної оцінці стохастичні процеси будуються для майбутніх періодів. Очевидно, що зі збільшенням часового інтервалу можливості прогнозування майбутніх грошових потоків, як і визначають їх факторів середовища, зменшуються, що означає збільшення невизначеності та граничних відхилень значень розглянутих параметрів. У цьому полягає важлива перевага опціонної оцінки над традиційними методами оцінки. У той час як при аналізі DCF процентна ставка ризику дорівнює протягом усього терміну дії проекту, в опційному аналізі невизначеність безперервно збільшується.

Все це характерно і для реальних опціонів: зі збільшенням часового інтервалу менеджмент стикається зі все більшою невизначеністю необхідних даних.

Стохастичний процес описує послідовність подій, що підкоряються законам теорії ймовірностей, і дозволяє передбачати вірогідність настання випадкових, на перший погляд, подій у майбутньому. Маючи достовірний стохастичний процес, що описує зміну ціни базисного активу, можна визначити майбутню ціну активу з певною ймовірністю, що, в свою чергу, дозволяє оцінити вартість опціону, використовуючи безризикову ставку дисконту. Ключовою проблемою і для фінансових, і для реальних опціонів є знаходження достовірного стохастичного процесу зміни вартості базисного активу. Основні методи оцінки опціонів моделюють майбутні стохастичні процеси на підставі ряду вихідних даних, у тому числі ступеня невизначеності.

Говорячи про невизначеність і ризик, важливо відзначити основні особливості обліку ризику в теорії опціонів і пояснити виникнення фактора безризикової ставки дисконту в опційному ціноутворенні.

М. Brach (3-5) виділяє три інструменти аналізу корпоративного ризику і факторів невизначеності:

? метод «бюджетування» – заснований на дисконтуванні майбутніх грошових потоків. Ставка дисконтування відображає суб’єктивний очікуваний ризик відхилення майбутніх грошових потоків від заданих і характеризує альтернативну можливість інвестування коштів у цінні папери, що мають рівень ризику ідентичний даному проекту;

? портфельний метод – розглядає інвестиційний проект і оцінює його ризик по відношенню до існуючих активів і опціонах компанії. Його головне завдання – визначити вплив нового проекту на загальний ризик портфеля інвестиційних проектів, наявних у компанії на даний момент і, шляхом додавання нового проекту в портфель, знизити (залишити без зміни) загальний ризик при збереженні (підвищенні) прибутковості портфеля;

? метод реальних опціонів – здійснює прямий аналіз ризику, характерного для даного проекту. Ризик розраховується шляхом аналізу ймовірностей. Майбутня прибутковість здійснюваних інвестицій відображає вірогідність зміни факторів середовища проекту – глобальної економіки, конкурентного середовища, характеристик проекту, розподіл ймовірності виникнення витрат, пов’язаних з підтриманням проекту. Опціонний аналіз виробляє імовірнісний розподіл значень майбутньої вартості активу (див. Рис. 5).

Перша математична формула для оцінки фінансових опціонів була запропонована Louis Bachielier (1872-1946). Він математично довів залежність збільшення дисперсії значень змінних стохастичного процесу від квадратного кореня значення розглянутої одиниці часу. Дане математичний вираз буде використовуватися при розгляді біномінальної моделі оцінки реальних опціонів. Незважаючи на те що Баше-льє не використав термін «Броунівський рух», що став відомим у Франції тільки в 1902 р, його теорія була заснована на тій же концепції.

Л. Башелье припустив, що вартість базисного активу у фінансових опціонах має логнормальний розподіл, що передбачається в більшості сучасних моделей оцінки опціонів. На основі цього твердження Башелье запропонував перший метод математичної оцінки вартості фінансових опціонів.

Ідеї ??Башилов були розвинені П. Самуельсоном і Дж. Бонессом. Їх праці послужили передумовою для створення формули оцінки вартості опціонів Блека і Скоулс, що є в даний час однією з найбільш поширених методик оцінки опціонів. Серед інших методик можна виділити биноминальную модель і модель Монте-Карло. Дані моделі, що знайшли широке застосування при оцінці фінансових опціонів, стали основою оцінки опціонів в реальному секторі.

У цьому розділі були розглянуті основні поняття і базові концепції теорії оцінки фінансових опціонів, була ще раз підкреслено важливість поняття невизначеності для теорії опціонного ціноутворення.

Позначивши основні поняття теорії опціонів, а також основи теорії оцінки фінансових опціонів, можна перейти до розгляду концепції реальних опціонів.

Посилання на основну публікацію