Взаємно прості числа

 Цілі числа будуть взаємно простими, коли у них не буде жодного спільного дільника (множника), не рахуючи ±1.

Приклади:

14, 25 взаємно прості — не існує загальних дільників.

15, 25 не взаємно прості (загальний дільник 5).

6, 8, 9 взаємно прості — не існує дільників, загальних для 3-х чисел.

Приклад: расстановим на площині точки з цілими координатами нульової товщини, так щоб з початку координат було видно лише точки, координати яких взаємно прості.

Числа. Взаємно прості числа.

Числа 4 і 9 взаємно прості, значить, діагональ решітки 4 на 9 не перетинає інших точок решітки.

Цілі числа a1, a2, …, ak, k>2 будуть взаємно простими, коли НСД цих чисел буде 1.

 

Властивості взаємно простих чисел.

 

Числа a і b взаємно прості лише в тому випадку, якщо виконується одне з еквівалентних умов:

НОД a і b =1.

Є цілі x і y з умовою ax+by=1 (співвідношення Безу).

Всякі 2 (різних) простих числа завжди будуть взаємно простими.

Коли a — дільник твори bc, a взаємно просто з b, значить a — дільник c.

Коли числа a1,…, an — попарно взаємно прості числа, значить найменше спільне кратне

(a1, …, an) = |a1·…·an|.

Приміром, НОК(9,11)=9⋅11=99.

Можливість того, що будь-k, яке обрано випадковим чином, позитивних цілих чисел виявляться взаємно простими, відповідає 1/ζ(k), при цьому, при N→∞ можливість того, що k позитивних цілих чисел, які менше N (і які вибрані випадково) виявляться взаємно простими, прагне до 1/ζ(k).

Коли в наборі чисел всякі 2 взаємно прості, значить ці числа є попарно взаємно простими. Для 2-х чисел вираження «взаємно прості» і «попарно взаємно прості» – це одне і те ж.

2 натуральних числа, які розташовані поруч, завжди взаємно прості.

 

Приклади взаємно простих чисел:

8, 15 — взаємно прості, але не прості.

6, 8, 9 — не попарно взаємно прості, але взаємно прості числа.

8, 15, 49 — попарно взаємно прості.

 

Застосування взаємно простих чисел.

 

Часто кількість зубів на зірочках і кількість ланок ланцюга в ланцюговій передачі намагаються зробити взаємно простими. Це дає більш рівномірне зношування: всі зуби зірочки будуть по черзі працювати з кожним з ланок ланцюга.

Посилання на основну публікацію