Розкриття модуля

✅ Абсолютна величина числа, або модуль, обчислюється згідно з такими правилами:

 

Рішення рівнянь, що містять модуль. Розкриття модуля.

 

Для стислості запису застосовують |а|. Так,

|10| = 10; -1/3= |1/3|; |-100| = 100 і т. д.

Всякої величини х відповідає досить точна величина |х|. І означає тотожність у= |х| встановлює як деяку функцію аргументу х.

Графік цієї функції наведено нижче.

 

Рішення рівнянь, що містять модуль. Розкриття модуля.

 

Для x > 0 |x| = x, а для x < 0 |x|= -x; у зв’язку з цим лінія у = |x| при x > 0 поєднана з прямою у =х (бісектриса першого координатного кута), а при х < 0 – з прямою у = -х (бісектриса другого координатного кута).

Окремі рівняння включають в себе невідомі під знаком модуля.

Довільні приклади таких рівнянь:

|х— 1| = 2, |6 — 2х| =3х+ 1 і т. д.

Рішення рівнянь, що містять невідоме під знаком модуля базується на тому, що якщо абсолютна величина невідомого числа х дорівнює позитивному числу а, то саме це число х дорівнює або а, або не -а.

Наприклад, якщо |x| = 10, то або х=10, або х = -10.

Розглянемо рішення окремих рівнянь.

Проаналізуємо рішення рівняння |х – 1| = 2.

Розкриємо модуль тоді різниця х – може дорівнювати 1 або + 2, або – 2. Якщо х – 1 = 2, х = 3; якщо ж х – 1 = -2, то х = -1. Робимо подставновку і отримуємо, що обидва ці значення задовольняють рівнянню.

Відповідь. Зазначене рівняння має два кореня: x1 = 3, x2 = – 1.

Проаналізуємо рішення рівняння |6 — 2х| = 3х+ 1.

Після розкриття модуля отримуємо: або 6 – 2х= 3х+ 1, або 6 – 2х= -(3х+ 1).

У першому випадку х = 1, а у другому х= -7.

Перевірка. При х = 1 |6 — 2х| = |4| = 4, 3x + 1 = 4; від суду слідує, х = 1 – корінь даного рівняння.

При x = -7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= -20; так як 20 ≠ -20, то х = -7 не є коренем даного рівняння.

Відповідь. У єдиний корінь рівняння: х = 1.

Рівняння такого типу можна вирішувати і графічно.

Так вирішимо, наприклад, графічно рівняння |х – 1| = 2.

Спочатку виконаємо побудову графіка функції у = |x— 1|. Першим накреслимо графік функції у=х – 1:

графічне рішення розкриття модуля

 

Ту частину графіка, яка розташована вище осі х міняти не будемо. Для неї х – 1 > 0 і тому |х-1|=х-1.

Частину графіка, яка розташована під віссю х, зобразимо симетрично відносно цієї осі. Оскільки для цієї частини х – 1 < 0 і відповідно |х – 1|= – (х – 1). Утворилася в результаті лінія (суцільна лінія) і буде графіком функції у = |х—1|.

Рішення рівнянь, що містять модуль. Розкриття модуля.

Ця лінія перетнеться з прямою у = 2 в двох точках: Мз абсцисою -1 і М2 з абсцисою 3. І, відповідно, у рівняння |х – 1| = 2 буде два кореня: х1= -1, х2= 3.

Рішення рівнянь, що містять модуль. Розкриття модуля.

Посилання на основну публікацію