1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Математика
  3. Раціональні числа

Раціональні числа

Які числа є раціональними? Раціональні числа (на відміну від ірраціональних)– це числа з позитивним чи негативним знаком (цілі і дробові) і нуль. Більш точне поняття раціональних чисел, звучить так:

Раціональне число — це число, яке відповідає звичайному дробу m/n, де чисельник m — цілі числа, а знаменник n — натуральні числа, наприклад 2/3.

Нескінченні неперіодичні дроби не входять в безліч раціональних чисел.

Тому число «Пі» (π = 3,14…), основа натурального логарифма, e (e = 2,718..) або √2 не є раціональними числами.

Раціональні числа, приклади:

3/4; 9/12; 1/2;

Безліч раціональних чисел

Крім того, один дріб можна записати різними способами і видами, але значення не загубиться. Наприклад, 3/4 і 9/12, будь-який дріб, який можна отримати з іншого дробу (і навпаки) множачи їх або ділячи чисельник і знаменник на однакове натуральне число, є одним і тим же раціональним числом). Так як діленням чисельника і знаменника дробу на НОД, можемо отримати єдине подання раціонального числа, яке не можна скоротити, то можемо говорити про їх безлічі як про безліч несократимих дробів з взаємно простими цілим чисельником і натуральним знаменником.

Безліч раціональних чисел – це природне узагальнення безлічі цілих чисел. Якщо у раціонального числа a=m/n знаменник n=1, то a=m буде цілим числом.

Кожне раціональне число легко виразити як дріб, в якому чисельник є цілим числом, а знаменник – натуральним числом.

a/b, де a ∈ Z (a належить цілим числам), b∈N (b належить натуральним числам).

Використання раціональних чисел в реальному житті

У реальному житті безліч раціональних чисел використовується для рахунку частин деяких цілих подільних об’єктів, наприклад, тортів або інших продуктів, які розрізаються на частини перед вживанням, або для грубої оцінки просторових відносин протяжних об’єктів.

Властивості раціональних чисел

Основні властивості раціональних чисел.

1. Упорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел a і b є правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними 1-але й тільки одне з 3-х відносин: «<», «>» або «=». Це правило – правило впорядкування.

2 позитивні числа a=ma/na і b=mb/nb пов’язані тим же відношенням, що і 2 цілих числа ma⋅nb і mb⋅na;

2 від’ємних числа a і b зв’язані відношенням, що і 2 позитивні числа |b| |a|;

коли a позитивно, а b — негативно, то a>b.

∀a,b∈Q (a∨a>b∨a=b)

2. Операція додавання. Для всіх раціональних чисел a і b є правило підсумовування, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число c. При цьому саме число c – це сума чисел a і b і її позначають як (a+b), а процес знаходження цього числа називають підсумовування.

Правило підсумовування виглядає так:

ma/na+mb/nb=(ma⋅nb+mb⋅na)/(na⋅nb).

∀a,b∈Q ∃!(a+b)∈Q

3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел a і b є правило множення, воно ставить їм у відповідність певне раціональне число c. Число c називають добутком чисел a і b і позначають (a⋅b), а процес знаходження цього числа називають множення.

Правило множення виглядає так: mana⋅mbnb=ma⋅mbna⋅nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Транзитивність відносини порядку. Для будь-яких трьох раціональних чисел a, b і c, якщо a менше b, а b менше c, то a менше c, а якщо a дорівнює b і b дорівнює c, то a дорівнює c.

∀a,b,c∈Q (a∧b⇒a∧(a = b∧b = c ⇒ a = c)

5. Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.

∀a,b∈Q a+b=b+a

6. Асоціативність додавання. Порядок складання 3-х раціональних чисел не впливає на результат.

∀a,b,c∈Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Наявність нуля. Є раціональне число 0, воно зберігає всяке інше раціональне число при складанні.

∃0∈Q ∀a∈Q a+0=a

8. Наявність протилежних чисел. У будь-якого раціонального числа є протилежне раціональне число, при їх складання виходить 0.

∀a∈Q ∃(−a)∈Q a+(−a)=0

9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.

∀a,b∈Q a⋅b=b⋅a

10. Асоціативність множення. Порядок перемноження 3-х раціональних чисел не має вплив на підсумок.

∀a,b,c∈Q (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

11. Наявність одиниці. Є раціональне число 1, воно зберігає всяке інше раціональне число в процесі множення.

∃1∈Q ∀a∈Q a⋅1=a

12. Наявність зворотних чисел. Кожне раціональне число, відмінне від нуля, має зворотне раціональне число, помноживши на яке отримаємо 1.

∀a∈Q ∃a−1∈Q a⋅a−1=1

 13. Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення пов’язана зі складанням за допомогою розподільного закону:

∀a,b,c∈Q (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c

14. Зв’язок відносин порядку з операцією додавання. До лівої і правої частин раціональної нерівності додають одне і те ж раціональне число.

∀a,b,c∈Q a⇒a+c

15. Зв’язок віднсин порядку з операцією множення. Ліву і праву частини раціональної нерівності можна помножити на однакове невід’ємне раціональне число.

∀a,b,c∈Q c>0∧a⇒a⋅c⋅c

 16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число a, легко взяти стільки одиниць, що їх сума буде більше a.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Пропорція