Похідна функції. Зміст похідної функції

 Нехай у = f(x) є неперервною функцією аргументу х, і вона визначена на проміжку (а, b), а х – є випадково вибраною точкою цього проміжку. Надамо аргументу х приріст Δх (позитивне чи від`ємне).

Функція у =f(х) одержить приріст Δу дорівнює:

 

Δy = f(x + Δx)-f(x).

 

При нескінченно малому збільшення Δх Δу теж нескінченно мало.

Межа, до якого прагне ставлення Δу/ Δх при Δх → 0, тобто сам є функцією аргументу х:

 

Похідна функції. Зміст похідної функції..

 

Ця функція називається похідною функції f(x) і позначається f'(x) або у’.

Іншими словами, похідної функції називається межа, до якого прагне відношення нескінченно малого приросту функції до відповідного нескінченно малому приросту аргументу.

При цьому, при вирішенні межі величина х є константою.

 

Наприклад:

 

Розглянемо рішення похідної функції на прикладі вільного падіння тіла.

Маємо:

Похідна функції. Зміст похідної функції.

Оскільки t2 = t1 + Δt, то

 

Похідна функції. Зміст похідної функції..

 

Значить,

Похідна функції. Зміст похідної функції..

Обчисливши межа, знайдемо:

v = gt1.

 

Позначення t1 вводиться з метою підкреслення сталості t при обчисленні границі функції. Так як t1 є довільним значенням часу, то індекс 1 можна відкинути; тоді отримуємо:

 

v = gt.

 

Видно, що швидкість v, як і шлях s є функцією часу. Вид функції v цілком залежить від виду функції s, так що функція s як би «виробляє» функцію v. Звідси назва «похідна функція».

 

Розглянемо ще один приклад.

Знайти значення похідної функції:

 

у = х2 при х = 7.

Рішення. При х = 7 маємо у=72 = 49. Надамо аргументу х приріст Δх. Аргумент стане рівним 7 + Δх, а функція отримає значення (7 + Δх)2.

Приріст Δу функції дорівнює:

Δу = (7 + Дх)2 – 72 = 14 Δх + Δх2.

 

Відношення цього прирощення до збільшенню Δх виражається наступним чином:

 

Похідна функції. Зміст похідної функції..

 

Знаходимо межа, до якого прагне Похідна функції. Зміст похідної функції. при Δх → 0:

 

Похідна функції. Зміст похідної функції..

 

Шукане значення похідної дорівнює 14.

Посилання на основну публікацію