Однорідні тригонометричні рівняння відносно sin та cos

 Рівняння вважаються однорідним відносно sin і cos, коли всі його члени однаковою мірою відносно sin і cos однакового кута.

Розглянемо кілька прикладів однорідних тригонометричних рівнянь:

 

sin х — cos х = 0,

sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0,

cos2 х — sin х cos х = 0.

 

Приміром, у членів першого рівняння загальна ступінь 1, а у членів інших двох рівнянь — загальна ступінь 2

Для вирішення подібних рівнянь потрібно:

  • – перемістити всі його компоненти в ліву частину;
  • – перемістити спільні множники за дужки;
  • – прирівняти всі множники і дужки до нуля;
  • – дужки, рівні нулю, дають однорідне рівняння меншою мірою, яке необхідно поділити на cos ( або sin ) більшою мірою;
  • – знайти коріння утворився рівняння щодо tg ( або ctg).

 

Знайдемо корені рівняння sin х — cos х = 0.

У розглянутому варіанті cos x не допустимо прирівняти до нуля. Якщо допустити що cos х = 0, тоді sin х = 0. І в такому випадком не здійснилося б співвідношення sin2 x +cos2 x = 1. Значить, в цьому виразі cos х ≠ 0.

Отже, обидві частини зазначеного виразу можемо поділити на соѕ2х. Тоді отримаємо tg x – 1 = 0, далі:

 

tg x = 1, x = π/4 + 2nπ.

 

Подібним чином вирішуємо і рівняння sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0.

Поділимо обидві частини цього виразу на cos2 х:

tg2 х — 5 tg х + 6 = 0;

(tgx)1= 2; (tg x)2 = 3.

І отже,

x = arctg2+ nπ x = arctg 3 + kπ.

 

Обчислимо корені рівняння cos2 х — sin х cos х = 0.

 

У цьому випадку тотожність cos х = 0 допустимо, і отже, поділити обидві частини виразу на соѕ2х неможливо. Однак, можливо, що sin х ≠ 0. В протилежному випадку з виразу виходило б, що соѕх = 0. Але тоді не здійснилося б рівність sin2 x +cos2 x = 1. Отже, sin х ≠ 0. Значить обидві частини цього виразу можливо поділити на ѕіп2х.

Після проведення перетворень маємо:

 

ctg2 х — ctg х = 0,

 

далі (ctg x)1 = 0; (ctg х)2 = 1.

Відповідно до цього формуються дві групи коренів:

х = π/2 + nπ і х=π/4 + kπ.

 

Деякі тригонометричні рівняння, не будучи однорідними, просто перетворюються в однорідні.

Так, коли в рівнянні:

 

sin х cos x = 0,5

 

уявімо 0,5 як 0,5 (sin2 x +cos2 х), і отримаємо однорідне рівняння sin х cos x = 0,5 sin2 x + 0,5 cos2 х.

Посилання на основну публікацію