Найпростіше тригонометричне рівняння sin х = а

 Існує можливість відобразити кожен корінь рівняння sin х = а, як абсциссу якоїсь точки перетину синусоїди y =ѕіпх і прямої у = а, і, відповідно вірно зворотне, абсциса будь-якої такої точки перетину виступає одним з коренів рівняння.

 

При | а| >1 синусоїда у = sin х не перетнеться з прямою у = а. В даному випадку у рівняння немає коренів.

 

Найпростіше тригонометричне рівняння sin х = а.

 

При | а |<1, у синусоїди у = sin х і прямої у = а буде нескінченно багато спільних точок. У зазначеному варіанті у рівняння буде нескінченна безліч коренів.

 

При 0<а<1 і -1< а < 0 всі корені рівняння знаходяться за формулою:

 

х = (-1)marcsin a+ mπ,

 

де m змінюється за всіма цілим числам (m =0, ±1, ±,2, ±3, …).

При а = 0 рівняння sin x = а будуть коріння:

 

х = mπ,

 

де m змінюється за всіма цілим числам (m = 0, ±1, ±2, ±3, …).

Безсумнівно, arcsin0 = 0 і відповідно отримуємо (-1)marcsin 0 + mπ = mπ.

 

При а = 1, корені рівняння визначаються за формулою:

 

х =π/2+ 2kπ,

 

де k змінюється по всіх цілих чисел (k = 0, ±1, ±2, ±3, …).

 

Найпростіше тригонометричне рівняння sin х = а.

 

Для обґрунтування формули виконаємо підстановку: а = 1 в формулу:

 

(-1)marcsin0+ mπ = mπ і беручи до уваги, що arcsin 1=π/2, маємо: (- 1)m arcsin 1 + mπ= (- 1)mπ/2 + mπ.

 

При а = -1 коренями рівняння sin x = а будуть числа:

 

х= -π/2+ 2kπ,

 

де k змінюється по всіх цілих чисел (k = 0, ±1, ±2, ±3, . . .).

 

Найпростіше тригонометричне рівняння sin х = а.

 

Необхідно враховувати, що всі вищевказані формули можна застосовувати в тому випадку, коли шуканий кут х поданий у радіанах. Коли х представлений в градусах, то ці формули потрібно перетворити.

Наприклад, замість формули (-1)m arcsin 0 + mπ = mπ необхідно застосовувати формулу х= (-1)m агсѕіпа + 180m, замість формули х = mπ – формулу х= 180 m і т. д.

Посилання на основну публікацію