Логарифмічні нерівності

 При розв’язуванні логарифмічних нерівностей за основу беремо властивості логарифмічних функцій. А саме те, що функція у=logax при а > 1 буде монотонно зростаючою, а при 0 < а< 1 – монотонно спадною.

Проаналізуємо перетворення необхідні для вирішення нерівності

log1/5(x – l) > – 2.

Спочатку потрібно зрівняти основи логарифмів, у зазначеному випадку показати праву частину у вигляді логарифму з необхідною підставою. Перетворимо -2=-2 log 1/51/5= log 1/51/5-2= log1/5 25, далі вкажемо вибране нерівність у вигляді:

 

log1/5(x – l) > log1/5 25.

 

Функція у = log1/5 x буде монотонно спадною. Виходить, більшому значенню цієї функції відповідає менше значення аргументу. І відповідно маємо, х—1 < 25. До зазначеного нерівності потрібно додати ще нерівність х – 1 > 0, що відповідає тому факту, що під знаком логарифма може бути лише позитивна величина. Виходить, що дане нерівність ідентично системи двох лінійних нерівностей. Враховуючи, що підстава логарифма менше одиниці, в ідентичній системі знак нерівності змінюється на протилежний:

 

Логарифмічні нерівності

Вирішивши яке бачимо, що:

1 < х < 26.

 

Має велике значення не забути умова х – 1 > 0, інакше вийде не правильний висновок: х < 26. Тоді б ці «рішення» входило б і значення х = 0, при якому ліва частина початкового нерівності не існує.

Посилання на основну публікацію