Логарифм: визначення

 Логарифмом (від грецького λόγος – «слово», «ставлення» і ἀριθμός – «число») числа b по підставі a ( logα b) називається таке число c, b=ac, тобто записи logα b=c і b=ac еквівалентні. Логарифм має сенс, якщо a > 0, а ≠ 1, b > 0.

Кажучи іншими словами логарифм числа b за основою а формулюється як показник ступеня, у яку треба звести число a, щоб одержати число b (логарифм існує тільки в позитивних чисел).

З даної формулювання випливає, що обчислення x= logα b, рівнозначне рішенню рівняння ax=b.

 

Наприклад:

log2 8 = 3 тому, що 8=23.

 

Виділимо, що зазначена формулювання логарифма дає можливість відразу визначити значення логарифма, коли число під знаком логарифма виступає деякою ступенем підстави. І в правду, формулювання логарифма дає можливість обґрунтувати, що якщо b=ас, то логарифм числа b по підставі a дорівнює с. Також ясно, що тема логарифмування тісно взаємопов’язана з темою ступеня числа.

Обчислення логарифма іменують логарифмированием. Логарифмування – це математична операція взяття логарифма. При логарифмировании, твори співмножників трансформується в суми членів.

Потенціювання – це математична операція зворотна логарифмированию. При потенціювання заданий підстава зводиться до степеня вираження, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів трансформуються в добуток співмножників.

Досить часто використовуються речові логарифми з підставами 2 (двійковий), е число Ейлера e ≈ 2,718 (натуральний логарифм) і 10 (дес).

На даному етапі доцільно розглянути зразки логарифмів log72, ln√5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log-33.2, log-1-4.3 не мають сенсу, так як у першій з них під знаком логарифма вміщено від’ємне число, у другій – від’ємне число підставі, а в третій – від’ємне число під знаком логарифма і одиниця в підставі.

 

Умови визначення логарифма.

 

Варто окремо розглянути умови a > 0, a ≠ 1, b > 0.при яких дається визначення логарифма. Розглянемо, чому взяті ці обмеження. У це нам допоможе рівність виду x = logα b , називається основним логарифмічним тотожністю, яке безпосередньо випливає з даного вище визначення логарифма.

Візьмемо умова a≠1. Оскільки одиниця в будь-якій мірі дорівнює одиниці, то рівність x=logα b може існувати лише при b=1, але при цьому log1 1 буде будь-яким дійсним числом. Для виключення цієї неоднозначності і береться a≠1.

Доведемо необхідність умови a>0. При a=0 за формулюванням логарифма може існувати тільки при b=0. І відповідно тоді log00 може бути довільним відмінним від нуля дійсним числом, так як нуль в будь відмінною від нуля мірою є нуль. Виключити цю неоднозначність дає умова a≠0. А при a<0 нам би довелося відкинути розбір раціональних та ірраціональних значень логарифма, оскільки степінь з раціональним і ірраціональним показником визначена лише для невід’ємних підстав. Саме з цієї причини і обумовлено умова a>0.

І остання умова b>0 випливає з нерівності a>0, оскільки x=logα b, а значення ступеня з позитивним підставою a завжди позитивно.

Особливості логарифмів.

 

Логарифми характеризуються відмінними особливостями, які зумовили їх повсюдне вживання для значного полегшення кропітких розрахунків. При переході «у світ логарифмів» множення трансформується на значно більш легке складання, ділення — на віднімання, а піднесення до степеня і добування кореня трансформуються відповідно до множення і ділення на показник ступеня.

 

Формулювання таблицю логарифмів і їх значень (для тригонометричних функцій) вперше видав у 1614 році шотландський математик Джон не пер. Логарифмічні таблиці, збільшені і деталізовані іншими вченими, широко використовувалися при виконанні наукових та інженерних обчислень, і залишалися актуальними поки не стали застосовуватися електронні калькулятори і комп’ютери.

Посилання на основну публікацію