Лінійні нерівності

 Лінійними називаються нерівності ліва і права частина яких представляє собою лінійні функції щодо невідомої величини. До них відносяться, наприклад, нерівності:

 

Лінійне нерівності

5>4 – 6x 9-x < x + 5.

 

Лінійні нерівності — це нерівності виду:

 

ax +b>0 або ax + b<0

ax +b≤0 або ax + b≫0

 

де a і b – деякі задані числа; x — невідома змінна.

У всіх них є відмінна риса: в таких нерівностях відсутні ікси в квадраті, в кубі і т. д., крім того в цих нерівностях немає поділу на ікс і ікс не знаходиться під знаком кореня.

В залежності від знаку виділяють два типи лінійних нерівностей:

1) Строгі нерівності: ax +b>0 або ax + b<0

2) Несуворі нерівності: ax +b≤0 або ax + b≫0

Розберемо таке завдання. Одна із сторін паралелограма становить 7см. Якою повинна бути довжина іншого боку, щоб периметр паралелограма був більше 44 см?

Нехай шукана сторона складе х див. В такому випадку периметр паралелограма буде представлений (14 + 2х) див. Нерівність 14 + 2х > 44 є математичною моделлю задачі про периметр паралелограма. Якщо в цьому нерівність замінити змінну х на, наприклад, число 16, то отримаємо правильне числове нерівність 14 + 32 > 44. В такому випадку кажуть, що число 16 є рішенням нерівності 14 + 2х > 44.

Рішенням нерівності називають значення змінної, яке звертає його в правильне числове нерівність.

Отже, кожне з чисел 15,1; 20;73 виступають рішенням нерівності 14 + 2х > 44, а число 10, наприклад, не є його рішенням.

Вирішити нерівність означає встановити всі її розв’язки або довести, що рішень не існує.

Формулювання рішення нерівності схожа з формулюванням кореня рівняння. І все ж не прийнято позначати «корінь нерівності».

Властивості числових рівностей допомагали нам вирішувати рівняння. Точно так само властивості числових нерівностей допоможуть вирішувати нерівності.

Вирішуючи рівняння, ми змінюємо його іншим, більш простим рівнянням, але рівнозначним заданому. За схожою схемою знаходять відповідь і нерівності. При зміні рівняння на рівнозначне йому рівняння користуються теоремою про перенесення доданків з однієї частини рівняння в протилежну і про множенні обох частин рівняння на одне і те ж відмінне від нуля число. При вирішенні нерівності є істотна відмінність його з рівнянням, яке полягає в тому, що всяке рішення рівняння можна перевірити підстановкою у вихідне рівняння. В нерівностях такий спосіб відсутня, так як незліченна безліч рішень підставити у вихідне нерівність не представляється можливим. Тому є важливе поняття, ось ці стрілочки <=> – це знак еквівалентних, або рівносильних, перетворень. Перетворення називаються рівносильними, або еквівалентними, якщо вони не змінює безлічі рішень.

 

Подібні правила розв’язання нерівностей.

 

Якщо який-небудь доданок перемістити з однієї частини нерівності в іншу, змінивши його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, еквівалентну даній.

Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, еквівалентну даній.

Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, еквівалентну даній.

Використовуючи ці правила обчислимо наступні нерівності.

 

1) Розглянемо нерівність 2x – 5 > 9.

Це лінійне нерівність, знайдемо його рішення і обговоримо основні поняття.

2x – 5 > 9 <=> 2x > 14 (5 перенесли в ліву частину з протилежним знаком), далі поділили все на 2 і маємо x > 7. Нанесемо безліч рішень на вісь x

 

Лінійні нерівності.

 

Нами отримано позитивно спрямований промінь. Зазначимо безліч рішень або у вигляді нерівності x > 7, або у вигляді інтервалу хЛинейные нерівності(7; ∞). А що виступає приватним рішенням цієї нерівності? Наприклад, x = 10 – це приватне рішення цієї нерівності, x = 12 – це теж приватне рішення цієї нерівності.

Приватних рішень багато, але наше завдання – знайти всі рішення. А рішень, як правило, незліченна безліч.

 

Розберемо приклад 2:

2) Вирішити нерівність 4a – 11 > a + 13.

Розв’яжемо його: а перемістимо в одну сторону, 11 перемістимо в іншу сторону, отримаємо 3a < 24, і в результаті після ділення обох частин на 3 нерівність має вигляд a<8.

4a – 11 > a + 13 <=> 3a < 24 <=> a < 8.

Теж відобразимо безліч a < 8, але вже на осі а.

 

Лінійні нерівності.

 

Відповідь або пишемо у вигляді нерівності a < 8, а Лінійні нерівності (-∞;8), 8 не включається.

Посилання на основну публікацію