✅Дійсні числа

Поняття дійсного числа

Дійсне число – будь-яке невід’ємне або від’ємне число або нуль. З допомогою дійсних чисел виражають вимірювання кожної фізичної величини.

Дійсне число використовується для вимірювань геометричної і фізичної величин світу. Крім того, для проведення операцій добування кореня, обчислення логарифма, вирішення алгебраїчних рівнянь і т. д.

Натуральні числа утворилися з розвитком рахунку, а раціональні з потребою управляти частинами цілого, то речові числа (дійсні) використовуються для вимірювань безперервних величин. Т. о., розширення запасу чисел, які розглядаються, призвело до безлічі дійсних чисел, яке крім раціональних чисел складається з інших елементів, званих ірраціональні числа.

Множина дійсних чисел позначається R) – це множини раціональних і ірраціональних чисел зібрані разом.

Дійсні числа ділять на раціональні та ірраціональні.

Безліч дійсних чисел позначають і найчастіше називають речовій або числової прямої. Речові числа складаються з простих об’єктів: цілих і раціональних чисел.

Число, яке можна записати як відношення, де m – ціле число, а n – натуральне число, є раціональним числом.

Раціональні та ірраціональні числа створюють безліч дійсних чисел. Всім дійсним числам відповідає одна точка координатної прямої, яка називається числова пряма.

Для числових множин використовуються позначення:

  • N – множина натуральних чисел;
  • Z – множина цілих чисел;
  • Q – множина раціональних чисел;
  • R – множина дійсних чисел.

Теорія нескінченних десяткових дробів

Дійсне число визначається як нескінченний десятковий дріб, тобто:

±a0,a1a2…an…

де

  • ± є один із символів + або − знак числа,
  • a0 — ціле позитивне число,
  • a1,a2,…an,… — послідовність десяткових знаків, тобто елементів числового безлічі {0,1,…9}.

Нескінченний десятковий дріб можна пояснити як число, яке на числовій прямій знаходиться між раціональними точками типу:

±a0,a1a2…an і ±(a0,a1a2…an+10−n) для всіх n=0,1,2,…

Порівняння дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів відбувається порозрядно. Наприклад, припустимо дано 2 позитивні числа:

α=+a0,a1a2…an…

β=+b0,b1b2…bn…

Якщо a00, то α<β; якщо a0>b0 то α>β. Коли a0=b0 переходимо до порівняно наступного розряду. І т. д. Коли α≠β, значить після кінцевої кількості кроків зустрінеться перший розряд n, такий що an≠bn. Якщо ann, то α<β; якщо an>bn то α>β.

Але при цьому потрібно звернути увагу на те, що число a0,a1a2…an(9)=a0,a1a2…an+10−n. Тому якщо запис одного з порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду це періодичний десятковий дріб, у якої в періоді коштує 9, то її потрібно замінити на еквівалентну запис, з нулем у періоді.

Арифметичні операції з нескінченними десятковими дробами це безперервне продовження відповідних операцій з раціональними числами. Наприклад, сумою дійсних чисел α і β є дійсне число α+β, яка задовольняє таким умовам:

∀a’,a”,b’,b∈Q(a’⩽α⩽a)∧(b’⩽β⩽b)⇒(a’+b’⩽α+β⩽a”+ “b”)

Посилання на основну публікацію