Поняття дійсного числа
Дійсне число – будь-яке невід’ємне або від’ємне число або нуль. З допомогою дійсних чисел виражають вимірювання кожної фізичної величини.
Дійсне число використовується для:
- вимірювань геометричної і фізичної величин світу;
- проведення операцій добування кореня;
- обчислення логарифма;
- вирішення алгебраїчних рівнянь і т. д.
Натуральні числа утворилися з розвитком рахунку, а раціональні з потребою управляти частинами цілого, то речові числа (дійсні) використовуються для вимірювань безперервних величин.
Розширення запасу чисел, які розглядаються, призвело до безлічі дійсних чисел, яке крім раціональних чисел складається з інших елементів, званих ірраціональні числа.
Множина дійсних чисел позначається R) – це множини раціональних і ірраціональних чисел зібрані разом.
Дійсні числа ділять на раціональні та ірраціональні.
Безліч дійсних чисел позначають і найчастіше називають речовій або числової прямої. Речові числа складаються з простих об’єктів: цілих і раціональних чисел.
Число, яке можна записати як відношення,
де
- m – ціле число;
- n – натуральне число, є раціональним числом.
Раціональні та ірраціональні числа створюють безліч дійсних чисел. Всім дійсним числам відповідає одна точка координатної прямої, яка називається числова пряма.
Для числових множин використовуються позначення:
- N – множина натуральних чисел;
- Z – множина цілих чисел;
- Q – множина раціональних чисел;
- R – множина дійсних чисел.
Теорія нескінченних десяткових дробів
Дійсне число визначається як нескінченний десятковий дріб, тобто:
±a0,a1a2…an…
де
- ± є один із символів + або − знак числа,
- a0 — ціле позитивне число,
- a1,a2,…an,… — послідовність десяткових знаків, тобто елементів числового безлічі {0,1,…9}.
Нескінченний десятковий дріб можна пояснити як число, яке на числовій прямій знаходиться між раціональними точками типу:
±a0,a1a2…an і ±(a0,a1a2…an+10−n) для всіх n=0,1,2,…
Порівняння дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів відбувається порозрядно. Наприклад, припустимо дано 2 позитивні числа:
- α=+a0,a1a2…an…
- β=+b0,b1b2…bn…
Якщо a00, то α<β; якщо a0>b0, то α>β. Коли a0=b0 переходимо до порівняно наступного розряду. І т. д. Коли α≠β, значить після кінцевої кількості кроків зустрінеться перший розряд n, такий що an≠bn. Якщо ann, то α<β; якщо an>bn, то α>β.
Але при цьому потрібно звернути увагу на те, що число a0,a1a2…an(9)=a0,a1a2…an+10−n.
Тому якщо запис одного з порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду це періодичний десятковий дріб, у якої в періоді коштує 9, то її потрібно замінити на еквівалентну запис, з нулем у періоді.
Арифметичні операції з нескінченними десятковими дробами це безперервне продовження відповідних операцій з раціональними числами. Наприклад, сумою дійсних чисел α і β є дійсне число α+β, яка задовольняє таким умовам:
∀a’,a”,b’,b∈Q(a’⩽α⩽a)∧(b’⩽β⩽b)⇒(a’+b’⩽α+β⩽a”+ “b”)