Якщо один кут прямий, то це прямокутник

Однією з ознак прямокутника є наявність одного прямого кута параллелограмма. При цьому виявляється, що всі інші кути паралелограма також прямі. Тому такий паралелограм – прямокутник.

Можна сформулювати дана ознака прямокутника у вигляді теореми:

Якщо один з кутів паралелограма прямий, то такий паралелограм є прямокутником.

Довести це можна наступним чином:

Нехай дано паралелограм ABCD, у якого кут A прямої: ∠A = 90 °.

Як відомо, однією з властивостей паралелограма є те, що в ньому протилежні кути рівні між собою. Протилежним для кута A є кут C. Значить, ∠C = ∠A = 90 °.

Як відомо, сума кутів будь-якого опуклого чотирикутник (а паралелограм ним є) дорівнює 360 °. Це випливає з формули суми кутів для опуклих багатокутників: 180 ° * (n – 2), де n – кількість сторін. У свою чергу дана формула доводиться шляхом проведення діагоналей з однієї вершини опуклого багатокутника до решти вершин. Ці діагоналі розбивають багатокутник на n – 2 трикутників. А як відомо, сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °.

Таким чином, оскільки сума кутів паралелограма дорівнює 360 °, а два кути вже відомі, і рівні за 90 °, то на два інших кута доводиться 180 °:

∠B + ∠D = 360 ° – (∠C + ∠A) = 360 ° – (90 ° + 90 °) = 180 °.

Кути B і D є другою парою протилежних кутів паралелограма, а значить, рівні один одному: ∠B = ∠D. При цьому їх сума дорівнює 180 °. Отже, кожен з цих кутів дорівнює половині від 180 °. Ця половина буде дорівнює 90 °. Таким чином, ∠B = ∠D = 90 °.

В результаті доведено, що ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90 °. Тобто, якщо в паралелограмі один кут прямий, то всі інші кути рівні йому. А паралелограм, у якого всі кути прямі, – це прямокутник.

Посилання на основну публікацію