1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Геометрія
  3. Якщо навхрест лежачі кути при січній рівні, то прямі паралельні

Якщо навхрест лежачі кути при січній рівні, то прямі паралельні

Нехай дано дві прямі a і b, що перетинаються прямий c. Тобто пряма c є січною для прямих a і b. При цьому утворюються дві пари навхрест лежачих кутів. Якщо в будь-який з цих пар кути рівні, то прямі a і b паралельні. На кресленні позначена одна пара рівних між собою навхрест лежачих кутів.

Навхрест лежачі кути при паралельних прямих
Дано (умова). Рівність навхрест лежачих кутів.
Слідство (затвердження; те, що потрібно довести). Паралельність прямих.

Формулювання у вигляді теореми. Якщо при перетині двох прямих січною навхрест лежачі кути виявляються рівні, то значить, ці прямі паралельні.

Доказ. Скористаємося методом від протилежного. Нехай навхрест лежачі кути рівні, але запропоновані прямі не паралельні. Якщо прямі не паралельні, то вони перетнуться в одній точці. На кресленні січна c перетинає прямі a і b в точках A і B, а самі прямі перетинаються в точці C.

Доказ паралельності прямих
У результаті утворюється трикутник ABC, у якого кут при вершині B дорівнює зовнішнього кута при вершині A. Це дано по умові: були дані рівні кути при січної.

Сума кутів в трикутнику дорівнює 180 °. Якщо кут трикутника при вершині B дорівнює x градусів, то два інших кута трикутника в сумі дорівнюють 180 – x.

Так як кут B трикутника дорівнює зовнішнього кута A, то значить A також дорівнює x градусів. Внутрішній кут A і зовнішній кут A трикутника в сумі складають 180 °, так як це суміжні кути. Тоді ми отримуємо, що внутрішній кут A трикутника дорівнює 180 – x. Але цього бути не може, тому що 180 – x є сумою кутів A і C трикутника.

Таке може бути тільки у випадку, якщо кут C трикутника дорівнює 0 °. Однак такого бути не може, так як в цьому випадку відрізки AC і BC наклалися б один на одного. Тобто пряма a збіглася б з прямою b. Однак за умовою дані різні прямі.

Таким чином доведено, що якщо навхрест лежачі кути рівні, то прямі перетинатися не можуть. А якщо прямі не мають точок перетину, то вони паралельні.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Що таке коло