Властивості паралельних прямих

Властивості паралельних прямих вкрай часто зустрічаються при вирішенні завдань і доказах теорем. Довільні прямі – рідкість, але є такі фігури, як квадрат або паралелограм, де паралельні прямі можуть стати основою завдання, а без знання властивостей паралельних прямих вирішити такі завдання неможливо.

Що таке властивості паралельних прямих

Для початку виділимо визначення, які необхідно знати для вивчення властивостей паралельних прямих.

Паралельні прямі – це прямі, які не мають спільних точок, або прямі, які не перетинаються/

Перетин означає, що у двох об’єктів є спільна точка або набір точок. Тому коли в геометрії говорять, що прямі мають спільну точку, мається на увазі, що вони перетинаються.

При перетині двох прямих січною, утворюються навхрест лежачі, відповідні і односторонні кути.

Існує аксіома паралельних прямих, яка вкрай важлива при доказі деяких властивостей і є основною властивістю паралельних прямих. Аксіома свідчить, що через точку на площині можна провести тільки одну пряму, паралельну даній.

Дві групи властивостей паралельних прямих

Властивостей у паралельних прямих за все 5, але вони діляться на дві великі групи: наслідки з аксіоми паралельних прямих і слідства з ознак паралельності прямих. Почнемо з першої групи.

Наслідки з паралельності прямих

Якщо одна з двох паралельних прямих, паралельна третій, то й інша пряма їй паралельна.

Здається, що це логічно і не потребує доведення. Але в геометрії кількість тверджень не потребують обґрунтування вкрай мало і кожне з них носить назву аксіоми.

Аксіоми були виведені ще на зорі геометрії і з тих пір мало що змінилося. Велика частина сучасних теорем виведена на підставі аксіом Стародавньої Греції. Ці твердження єдині, що в математиці не потребує доведення.

Проведемо дві паралельні прямі а і b. Пряма з паралельна прямій а. Припустимо, що при цьому з не паралельна прямій b. Тоді у неї повинна бути якась точка перетину К. Тобто через точку К проходить дві прямі с і b. При цьому кожна з цих прямих повинна бути паралельна прямій а.

Тобто, через одну точку на площині проведені дві прямі, паралельні даній. Це неможливо, тому що суперечить аксіомі паралельних прямих. Значить початкове припущення було невірним і прямі с і b паралельні.

Слідство 2

Слідство 2 дуже важливо, так як говорить про січною двох паралельних прямих. Властивість говорить: якщо пряма перетинає одну з паралельних прямих, то вона перетне і другу.

Доказ також ведеться методом від противного. Проведемо дві прямі: а і b. Уявімо, що пряма з перетинає пряму а, але не перетинає пряму b. Тоді прямі c і b паралельні. При цьому з перетинає а, тобто у цих прямих є спільна точка К.

Тоді через точку до проходить пряма а і пряма с, але кожна з них паралельна b. Значить, через одну точку проходить дві прямих паралельних прямої b, а це неможливо по аксіомі паралельних прямих. Значить початкове припущення було невірним і пряма з перетинає кожну з прямих а і b, що й треба було довести.

Наслідки з ознак паралельності

Цю групу запам’ятати найпростіше. Властивостей паралельності прямих всього 3 і кожному з них відповідає свій наслідок.

  • Прямі паралельні, якщо навхрест лежачі кути при січної рівні. Слідство цілком логічно: навхрест лежачі кути при двох паралельних прямих і січній рівні.
  • Прямі паралельні, якщо відповідні кути рівні. Слідство: відповідні кути при паралельних прямих і січній рівні.
  • Прямі паралельні, якщо сума односторонніх кутів дорівнює 180. Слідство: сума односторонніх кутів при паралельних прямих і січній рівні 180
ПОДІЛИТИСЯ: