Протилежні сторони рівні

Визначення паралелограма свідчить, що це чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні і паралельні один одному.

Однак для визначення чотирикутника як паралелограма достатньо, якщо протилежні сторони фігури просто рівні. Паралельність випливає з цього, що можна довести.

Тобто, якщо у чотирикутника протилежні сторони рівні, то він паралелограм. Доведемо це.

Нехай дано чотирикутник ABCD, у якого AB = CD і BC = AD. Якщо це опуклий чотирикутник, то будь-яка його діагональ ділить його на два трикутники. Якщо це неопуклих чотирикутник, то на два трикутника він ділиться тільки однієї діагоналлю. Інша його так не ділить.

Нехай чотирикутник ABCD ділиться діагоналлю AC на трикутники ABC і ADC. Ці трикутники будуть рівні за трьома сторонами: AC – загальна сторона, AB = CD, BC = AD. Отже, будуть рівні і їх відповідні кути.

Розі BAC трикутника ABC відповідає кут ACD трикутника ADC. Значить, ∠BAC = ∠ACD. Ці кути є навхрест лежать при прямій AC, що перетинає прямі AB і CD. Але навхрест лежачі кути при січної можуть бути рівними, тільки якщо вона перетинає паралельні прямі. Таким чином виявляється, що AB || CD.

У той же час пряма AC також є січною для прямих BC і AD. У цьому випадку утворені навхрест лежачі кути також рівні. Значить, BC || AD.

Якби чотирикутник ABCD був розділений на два трикутника діагоналлю BD, то розглядалися б трикутники ABD і CBD. Вони рівні за тим же третьому ознакою рівності трикутників, що і трикутники, утворені діагоналлю AC.

У цих трикутниках розглядаються навхрест лежачі кути при вершинах B і D трикутників. Вони також виявляються рівними, і, отже, протилежні сторони чотирикутника є паралельними.

Таким чином, з рівності протилежних сторін чотирикутника слід їх паралельність, і такий чотирикутник є паралелограмом.

Посилання на основну публікацію