✅Перетин висот трикутника

Існує теорема про те, що висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. Довести цю теорему можна наступним чином.

Нехай дано трикутник ABC, в ньому проведено висоти AH, BI, CJ. Слід довести, що три висоти перетинаються в одній якійсь точці O.

Проведемо через вершини трикутника ABC прямі, паралельні сторонам, яким вершини протилежні. Ці прямі перетнуться (оскільки між собою вони паралельними бути не можуть), утворюючи інший трикутник. Позначимо його як DEF. Нехай AB || FE, BC || DF, AC || DE.

Доказ теореми про перетин висот трикутника

Оскільки прямі AH, BI, CJ перпендикулярні сторонам трикутника ABC, то вони будуть перпендикулярні і прямим, паралельних сторонам даного трикутника. Тобто AH ⊥ DF, BI ⊥ DE, CJ ⊥ FE.

Розглянемо чотирикутник ABEC. У нього AB || EC, оскільки EC це відрізок, що лежить на прямій FE, а FE || AB з побудови. Аналогічно AC || BE. Тобто протилежні сторони розглянутого чотирикутника паралельні. Це означає, що він паралелограм, оскільки його визначає саме паралельність протилежних сторін.

Тепер розглянемо чотирикутник ADBC. У нього AD || BC і AC || DB. Значить, він теж паралелограм.

Одним із властивостей паралелограма є рівність його протилежних сторін. З паралелограма ABEC укладаємо, що AC = BE. З паралелограма ADBC ​​укладаємо, що AC = DB. Отже, AC = BE = DB, тобто BE = DB. Таким чином, сторона DE розбита на два рівних відрізка прямої BI.

Пряма BI перпендикулярна стороні DE і ділить її навпіл, значить, BI є серединним перпендикуляром до DE.

Аналогічно доводиться, що AH серединний перпендикуляр до DF, а CJ – до FE. (У першому випадку розглядаються чотирикутники ABCF і ADBC, у другому – ABCF і ABEC.)

Як відомо, серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці. (Доводиться це так. Два серединних перпендикуляра обов’язково перетнуться в одній точці. Нехай це будуть в даному випадку CO і AO. Кожна точка на серединному перпендикуляре рівновіддалена від кінців відрізка, до якого він проведений.

Значить, ΔFOE – рівнобедрений, т. Е. FO = OE. Однак ΔDOF також рівнобедрений і FO = OD. Значить, FO = OE = OD. Точка O рівновіддалена від усіх вершин трикутника. Тоді вона лежить і на третьому перпендикуляре, а значить, проходить через цю точку.)

Серединними перпендикулярами ΔDEF є відрізки AH, BI, CJ. Однак вони водночас є висотами трикутника ABC. Значить, висоти трикутника перетинаються в одній точці.

Посилання на основну публікацію