Перетин медіан трикутника

Існує теорема про те, що медіани трикутника перетинаються в одній точці, і ця точка ділить кожну медіану в співвідношенні 2:1, де 2 відповідає відрізку від вершини, з якої проведена медіана, до точки перетину медіан, а 1 відповідає відрізку від точки перетину медіан до середини сторони, до якої проведена медіана.

Щоб довести цю теорему, розглянемо трикутник ABC з медіанами AE, BF, CD. Тобто точки D, E, F ділять навпіл сторони AB, BC, CA відповідно.

Нам не відомо, чи перетинаються всі медіани в одній точці (це ще потрібно довести). Однак будь-які дві медіани перетнуться в одній точці, тому що не можуть бути паралельні. Нехай медіани AE і BF перетинаються в точці O.

Медіани трикутника

Перетин двох медіан трикутника

Медіана BF ділить медіану AE на два відрізки AO і EO. Проведемо через точку E пряму, паралельну BF. Ця пряма перетне сторону AC в якійсь точці L. Також проведемо через середину відрізка AB (точку D) ще одну паралельну до BF пряму. Вона перетне AC в точці K.

Згідно з теоремою Фалеса, якщо на одній стороні кута від його вершини відкласти послідовно рівні відрізки і провести через кінці цих відрізків паралельні прямі, які перетинають іншу сторону кута, то ці паралельні прямі відсічуть на другій стороні кута також рівні між собою відрізки.

Подивимося на кут BCA даного трикутника. Відрізки BE і EC рівні між собою, прямі BF і EL паралельні один одному. Тоді згідно теоремі Фалеса CL = LF.
Якщо ж подивитися на кут BAC, так як AD = BD і DK || BF, то AK = KF.

Так як відрізки AF і CF рівні між собою (так як Їх утворює медіана) і кожен з них ділиться на два рівних відрізка, то всі чотири відрізка боку AC рівні між собою: AK = KF = FL = LC.

Розглянемо кут EAC. Через кінці трьох рівних відрізків боку AC проведені паралельні прямі. Отже, вони відсікають на стороні AE рівні між собою відрізки. Відрізок AO містить в собі два таких відрізка, а EO тільки один. Таким чином, ми довели, що як мінімум одна медіана трикутника точкою перетину з іншою медіаною ділиться на два відрізки, довжини яких співвідносяться як 2:1.

Тепер розглянемо перетин медіани AE з медіаною CD. Нехай вони перетинаються в точці P.

Відсікання рівних відрізківАналогічно попередньому, доводиться, що паралельні прямі FM, CD, EN ділять сторону AB на рівні відрізки. У свою чергу вони ж ділять AE на три рівних відрізка. Причому від вершини A до перетину медіан два таких відрізка, а після – один.

Один і той же відрізок можна розділити на три рівні частини так, щоб при одному варіанті поділу вони були одного розміру, а при іншому – іншого. Тому точки O і P повинні збігатися. Це означає, що всі три медіани трикутника перетинаються в одній точці.

Щоб довести, що дві інші медіани діляться точкою перетину у співвідношенні 2:1, можна аналогічно попередньому провести паралельні прямі до сторін AB і BC.

Посилання на основну публікацію