Ознаки паралельних прямих

Паралельність – дуже корисна властивість в геометрії. У реальному житті паралельні сторони дозволяють створювати красиві, симетричні речі, приємні будь-якому оці, тому геометрія завжди потребувала способах цю паралельність перевірити. Про ознаки паралельних прямих ми і поговоримо в цій статті.

Визначення для паралельності

Виділимо визначення, які необхідно знати для доказу ознак паралельності двох прямих.

Прямі називають паралельними, якщо вони не мають точок перетину. Крім того, в рішеннях зазвичай паралельні прямі йдуть в зв’язці з січною лінією.

Січною прямий називається пряма, яка перетинає обидві паралельні прямі. В цьому випадку утворюються навхрест лежачі, відповідні і односторонні кути. Навхрест лежать будуть пари кутів 1 і 4; 2 і 3; 8 і 6; 7 і 5. Відповідно будуть 7 і 2; 1 і 6; 8 і 4; 3 і 5.

Односторонніми 1 і 2; 7 і 6; 8 і 5; 3 і 4.

При правильному оформленні пишеться: «навхрест лежачі кути при двох паралельних прямих а і b і січною с», тому що для двох паралельних прямих може існувати безліч січних, тому необхідно вказувати, яку саме січну, ви маєте на увазі.

Також для доказу знадобиться теорема про зовнішній вугіллі трикутника, в якій мовиться, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника несуміжних з ним.

Ознаки

Всі ознаки паралельних прямих зав’язані на знання властивостей кутів і теорему про зовнішній вугіллі трикутника.

ознака 1

Дві прямі паралельні, якщо навхрест лежачі кути рівні.

Розглянемо дві прямі а і b з січною с. Навхрест лежачі кути 1 і 4 рівні. Припустимо, що прямі не паралельні. Значить прямі перетинаються і повинна бути точка перетину М. Тоді утворюється трикутник АВМ із зовнішнім кутом 1. Зовнішній кут має дорівнювати сумі кутів 4 і АВМ як несуміжних з ним по теоремі про зовнішній вугіллі в трикутнику. Але тоді вийде, що кут 1 більше кута 4, а це суперечить умові завдання, значить, точки М не існує, прямі не перетинаються, тобто паралельні.

ознака 2

Дві прямі паралельні, якщо відповідні кути при січної рівні.

Розглянемо дві прямі а і b з січною с. Відповідні кути 7 і 2 рівні. Звернемо увагу на кут 3. Він є вертикальним для кута 7. Значить, кути 7 і 3 рівні. Значить, кути 3 і 2 є рівними, так як <7 = <2 і <7 = <3. А кут 3 і кут 2 є навхрест лежать. Отже, прямі паралельні, що й треба було довести.

ознака 3

Дві прямі паралельні, якщо сума односторонніх кутів дорівнює 180 градусам.

Розглянемо дві прямі а і b з січною с. Сума односторонніх кутів 1 і 2 дорівнює 180 градусів. Звернемо увагу на кути 1 і 7. Вони є суміжними. Тобто:

<1+ <7 = 180

<1+ <2 = 180

Віднімемо від першого виразу друге:

(<1+ <7) – (<1+ <2) = 180-180

(<1+ <7) – (<1+ <2) = 0

<1+ <7- <1 <2 = 0

<7- <2 = 0

<7 = <2 – а вони є відповідними. Значить, прямі паралельні.

Що ми дізналися?

Ми в подробицях розібрали, які кути виходять при розтині паралельних прямих третьою лінією, виділили і детально розписали доказ трьох ознак паралельності прямих.

ПОДІЛИТИСЯ: