Описаний чотирикутник

Описаний близько окружності чотирикутник стосується її всіма своїми сторонами. Тобто кожна з чотирьох сторін чотирикутника є дотичною до даної окружності. Така кола називається вписаною в чотирикутник.

Не кожен чотирикутник можна описати близько окружності.

Описані і неописані чотирикутники
Описані чотирикутники мають таку властивість: суми їх протилежних сторін рівні. Це означає, що якщо, близько даної окружності описати чотирикутник, наприклад, ABCD, то виявиться, що сума його протилежних сторін AB + СD дорівнює сумі іншої пари його протилежних сторін BC + DA.
Щоб довести це властивість, візьмемо окружність O, опишемо біля неї довільний чотирикутник ABCD, позначимо точки дотику сторонами чотирикутника окружності літерами K, L, M і N. Також з’єднаємо центр кола з точками дотику і центр кола з вершинами чотирикутника.

Доказ властивості описаного чотирикутника
Розглянемо пари трикутників у кожному куті чотирикутника. При куті A чотирикутника утворені трикутники AOK і AON. Обидва ці трикутника прямокутні, так як радіуси окружності, проведені до дотичної, перпендикулярні їй. Самі радіуси дорівнюють один одному. Обидва трикутника мають спільну гіпотенузу AO. Однією з ознак рівності прямокутних трикутників є їх рівність за рівним гіпотенузі і катету. Значить, ΔAOK = ΔAON. Звідси випливає, що сторона AK дорівнює стороні AN. Висловимо довжину цих сторін буквою a: AK = AN = a.

Аналогічно доводиться, що BK = BL, CL = CM, DM = DN. Нехай довжина BK = b, CL = c, DM = d.

Сторона чотирикутника AB складається з відрізків AK і BK: AB = AK + BK. Замінимо буквені позначення відрізків їх довгою: AB = a + b. Аналогічно боку BC = b + c, CD = c + d, DA = d + a.

Тепер через довжини висловимо суми протилежних сторін:

AB + CD = (a + b) + (з + d) = a + b + c + d
BC + DA = (b + c) + (d + a) = b + c + d + a = a + b + c + d

В обох парах протилежних сторін вийшла однакова сума, тобто AB + CD = BC + DA. Це й було потрібно довести.

Таким чином, якщо біля кола описати чотирикутник, то яким би він не був, він буде мати властивість рівності сум протилежних сторін. Проте з цього ще не випливає той факт, що у всякий чотирикутник, з рівними сумами протилежних сторін, можна вписати коло. Насправді це так. Цей зворотне твердження називається ознакою описаного чотирикутника. Доказ цієї ознаки виглядає складніше.

Посилання на основну публікацію