1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Геометрія
  3. Навхрест лежачі кути при паралельних прямих рівні

Навхрест лежачі кути при паралельних прямих рівні

Існує теорема про те, що прямі паралельні, якщо при перетині їх січною навхрест лежачі кути виявляються рівними. Тут дано – рівні навхрест лежачі кути при січної, наслідок – прямі паралельні.

Існує зворотна теорема: навхрест лежачі кути при січної рівні, якщо вона перетинає паралельні прямі. В даному випадку дано – паралельні прямі, наслідок – рівність навхрест лежачих кутів при січної.

Чи не є зворотна теорема «надмірної»? Чи не можна просто сказати, що тільки у паралельних прямих навхрест лежачі кути при січної рівні? Але може виявитися, ці кути рівні і у якихось не у паралельних прямих. Тобто у паралельних вони однозначно рівні, але є ще інші прямі, теж з рівними кутами. Зворотній теорема виключає таку можливість.

Доказ зворотної теореми зводиться до наступного.

Передбачається зворотне, т. Е. Що за даних паралельних прямих навхрест лежачі кути при січної виявляються не рівні. Нехай дані паралельні прямі a і b, які перетинає січна c. Припустимо, що навхрест лежачі кути 1 і 2 не рівні один одному: ∠1 ≠ ∠2.

Паралельні прямі і січна
Через точку перетину січної з однією з паралельних прямих (b) проведемо пряму d так, щоб вийшов рівний розі 1 навхрест лежачий кут 3: ∠1 = ∠3.

Доказ рівності навхрест лежачих кутів при паралельних прямих і січної
Пряма теорема стверджує, що коли навхрест лежачі кути при січної рівні, то прямі паралельні. Значить, прямі a і d паралельні: a || d.

Виходить, що через одну точку (в якій перетинаються прямі b, c, d) проведено дві паралельні прямі (b і d), які паралельні прямій a. Однак з раніше доведеної теореми такого бути не може: через точку, не лежить на прямій, можна провести тільки одну паралельну пряму.

Отже, припущення про те, що ∠1 ≠ ∠2, не вірно. Тому ∠1 = ∠2. Немає ніякої іншої прямої, що проходить через задану точку, яка давала б рівні кути при січної, окрім єдиної паралельної.

ПОДІЛИТИСЯ: