Кола правильного багатокутника

Близько будь-якого правильного багатокутника можна як описати коло, так і вписати в нього коло. Це будуть дві різні кола. Описана матиме більший радіус, а вписана менший. Однак їх центри будуть збігатися. Цей центр називається центром правильного багатокутника.

При цьому у правильного багатокутника може бути тільки одна вписана окружність і тільки одна описана.

На описаного кола лежать всі вершини багатокутника, а для вписаного кола всі сторони багатокутника є дотичними. На малюнку показаний рівносторонній трикутник і рівносторонній семикутник. Обидва вони правильні багатокутники. Показані їх вписані і описані окружності. Радіус описаного кола дорівнює відстані від центру багатокутника до будь-якої його вершини. Радіус вписаного кола перпендикулярному будь-якій стороні багатокутника.

Вписаний і описаний правильні трикутник і семикутник
Доказ теорем про вписаного і описаного кіл правильного багатокутника, які стверджують, що у нього завжди є обидві такі окружності, причому кожна з них тільки одна, загалом зводиться до наступного.

1. Будуються бісектриси двох сусідніх кутів правильного багатокутника. Бісектриси перетнуться в одній точці, т. К. Не можуть бути паралельними (у кутів одна сторона спільна, і вони не розгорнуті).

2. Розглядається трикутник, утворений двома биссектрисами і однією стороною багатокутника. Він виявляється рівнобедреним.

3. Проводиться відрізок з третього кута, сусіднього для будь-якого з перших двох. Доводиться, що другий трикутник дорівнює першому (по двох сторонах і куту між ними). Робиться висновок, що проведених відрізок також лежить на бісектрисі третього кута.

4. Висновок узагальнюється на всі кути багатокутника. Виходить, що бісектриси усіх кутів правильного багатокутника перетинаються в одній точці і рівновіддалені від неї.

5. Якщо цю точку взяти як центр кола, а за радіус кола взяти відстань від неї до будь-якої вершини багатокутника, то отримана таким чином окружність пройде по всіх вершин правильного багатокутника.

6. Для доказу наявності вписаного кола в трикутниках, освічених биссектрисами багатокутника, проводять висоти до їх підстав. Висоти виявляються рівними один одному (т. К. Дорівнюють самі трикутники).

7. Якщо через підстави висот провести коло з центром в точці перетину бісектрис кутів багатокутника, то ця окружність виявиться вписаною. Адже кожна сторона багатокутника виявиться дотичною до кола, т. К. Перпендикулярна радіусу.

8. Висновок про єдиності як вписаною, так і описаного кола випливає з припущення про наявність інших таких кіл. Виявляється, що їх центри та радіуси збігаються з раніше розглянутими.

Більш докладно докази наводяться тут: Вписаний правильний багатокутник, Описаний правильний багатокутник.

За допомогою описаного кола за даним правильному многоугольнику можна побудувати інший правильний багатокутник, у якого буде в два рази більше сторін, ніж у першого. Для цього спочатку проводять бісектриси кутів даного багатокутника. Потім, взявши точку перетину бісектрис за центр кола, креслять описану окружність. Після цього будують бісектриси кутів при точці, що є центром кола. Ці бісектриси перетнуть коло в «проміжних» вершинах нового багатокутника.

Посилання на основну публікацію