Існування перпендикуляра до прямої

Існує така теорема:

До будь-якої прямої з будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна провести перпендикуляр (перпендикулярну їй пряму).

Довести цю теорему можна наступним чином:

Нехай нам дана якась пряма a і крапка B, що лежить поза прямою a.

Пряма a ділить площину на дві півплощини, і, ясна річ, точка B знаходиться лише в одній з них.

Зігнемо площину по прямій a, тобто ця пряма буде лінією згину. В результаті дві півплощини сполучаться. Це означає, що точка B суміститься з певною точкою C на інший полуплоскости. Її можна легко знайти, проткнув зігнуту площину в точці B.

Тепер, якщо розігнути площину назад, у нас буде пряма і дві точки поза нею. Проведемо пряму, через точки B і C. Назвемо цю пряму d, вона перетинає пряму a.

Однак те, що пряма d перпендикулярна прямій a, сказати ще не можна. Такий висновок можна зробити, якщо довести, що

хоча б один кут при пересічних прямих дорівнює 90 ° (звідси буде випливати, що всі кути рівні 90 °, і, отже, прямі перпендикулярні один одному);
або довести, що два будь суміжних кути рівні між собою (якщо два суміжних кути рівні, то кожен з них дорівнює за 90 °, і можна зробити такий же висновок як в пункті 1).
У нас немає ніяких числових величин, значить нам залишається доводити рівність суміжних кутів.

Ми можемо взяти будь пари суміжних кутів, але візьмемо їх так, щоб вони були в різних півплощинах від прямої a:

Суміжні кути в різних півплощинах

Пряма d перетинає пряму a в якійсь точці. Назвемо її точкою M. BM – це відрізок від точки B до M, а CM – відрізок від точки C до M.
Знову зігнемо площину по прямій a. Відрізки BM і CM сполучаться, так як у них точки B і C вже були поєднані до цього, а точка M – загальна. При цьому суміжні кути, що лежать по різні сторони від прямої a, також сполучаться, так як сторона на прямий a у них спільна, точка M загальна, а відрізки BM і CM суміщені.

Якщо два кути поєднуються при накладенні, значить вони дорівнюють один одному. Але ці кути, крім того, суміжні! Звідси випливає, що вони рівні за 90 °, так як 180 ° треба поділити порівну на 2. І вже звідси випливає, що всі кути при пересічних прямих прямі, а отже прямі перпендикулярні один одному.

Оскільки ми могли взяти точку B, не лежить на прямій a, в довільному місці площині, то даний доказ універсально. Це означає що до будь-якої прямої з будь-якої точки поза її завжди можна провести перпендикуляр. Або, іншими словами, завжди існує перпендикуляр до прямої з будь-якої точки поза нею.

Посилання на основну публікацію