Довжина вектора і модуль вектора це тотожні поняття виражає числове значення довжини спрямованого відрізка.
Квадрат довжини будь-якого вектора дорівнює сумі квадратів його координат.
Для доказу цієї теореми візьмемо довільний вектор . Потім опустимо перпендикуляр на вісь абсцис і вісь ординат. Отримаємо проекції обраного вектора на координатній осі і прямокутний трикутник в якому гіпотенуза заданий нами вектор
Далі застосуємо теорему Піфагора, згідно з якою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
А саме: а2=ах2+ ау2.
Для остаточного обчислення візьмемо квадратний корінь.
З доведеної теореми отримуємо важливе слідство:
Будь-яка координата вектора за абсолютною величиною не перевищує довжини цього вектора.