Довести, що перпендикуляр менше похилій

Говорячи про перпендикуляр мають на увазі, що з будь-якої точки в просторі проводять перпендикулярну пряму до якої-небудь прямій. При цьому, ясна річ, точка не повинна лежати на прямій, до якої проводиться перпендикуляр.

Як відомо, з точки, що не лежить на прямій, можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Однак можна провести нескінченну безліч прямих не перпендикулярно до заданої прямої і перетинають її.

Розглянемо малюнок:

Перпендикулярна і похила прямі
На ньому намальована пряма a і через точку B проведена перпендикулярна їй пряма b. Крім прямої b через точку B можна провести безліч інших прямих, які перетинають пряму a, але всі вони не будуть перпендикулярні їй. Всі ці прямі називаються похилими.

Існує теорема про те, що будь-яка похила, проведена через задану точку до прямої, завжди більше перпендикуляра, проведеного через дану точку до прямої. Тільки зверніть увагу, що тут маються на увазі не прямі, а довжини відрізків від точки поза прямою до точок перетину з нею. Наприклад, на малюнку нижче має сенс говорити, що відрізок BA менше відрізка BC. Але говорити, що пряма b менше прямий c не можна, так як прямі нескінченні.

Перпендикуляр менше похилій
Чому ж будь похила більше перпендикуляра?

Розглянемо трикутник ABC. У ньому кут A прямий, значить це прямокутний трикутник. Навпаки прямого кута лежить гіпотенуза, яка, як відомо, завжди більше катета. Тому відрізок BC більше відрізка BA, а значить похила більше перпендикуляра.

З того, що перпендикуляр завжди менше похилій випливає, що найкоротший шлях від точки до прямої – це завжди перпендикуляр. Тому перпендикуляр ще називають відстанню від точки до прямої. Тобто коли потрібно знайти відстань між точкою і прямою мається на увазі відрізок-перпендикуляр до неї.

Посилання на основну публікацію