Довести основну тригонометричну тотожність

Основним тригонометричним тотожністю є рівність:

sin2 α + cos2 α = 1

Це означає, що в прямокутному трикутнику сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж гострого кута дорівнює одиниці.

Доведемо це тригонометричну тотожність. Нехай дано прямокутний трикутник ABC (∠C = 90º). Проведемо в ньому висоту CH до гіпотенузи.

Косинуси кутів
Висловимо катети трикутника ABC по косинусам кутів. Так як cos A = AC / AB, то

AC = AB · cos A

Так як cos B = BC / AB, то

BC = AB · cos B

Тепер розглянемо трикутник ACH. Він прямокутний, т. К. CH ⊥ AB. АС в цьому трикутнику є гіпотенузою. Тоді cos A = AH / AC. Висловимо звідси відрізок AH:

AH = AC · cos A

Підставами замість відрізка AC його значення, виражене раніше через косинус кута A трикутника ABC. Отримаємо:

AH = (AB · cos A) · cos A = AB · cos2 A

Тепер розглянемо трикутник BCH. У ньому cos B = BH / BC. Висловимо BH і замінимо BC його значенням, знайденим в трикутнику ABC:

BH = AB · cos2 B

Відрізок AB є сумою відрізків AH і BH:

AH + BH = AB

Замінимо AH і BH на їх вираження через косинуси кутів:

AB · cos2 A + AB · cos2 B = AB
AB · (cos2 A + cos2 B) = AB
cos2 A + cos2 B = 1

Як відомо, синус одного гострого кута прямокутного трикутника дорівнює косинусу іншого гострого кута цього ж трикутника. В даному випадку:

sin A = cos B

Отже, в тотожності cos2 A + cos2 B = 1 ми можемо косинус кута B замінити на синус кута A. Таким чином отримаємо:

cos2 A + cos2 B = 1
cos2 A + (cos B · cos B) = 1
cos2 A + (sin A · sin A) = 1
cos2 A + sin2 A = 1

Таким чином, сума квадрата косинуса кута і квадрата синуса цього кута дорівнює одиниці, що потрібно було довести.

Посилання на основну публікацію