Площа трапеції дорівнює ½ від твору суми її підстав на висоту. Так, якщо позначити підстави трапеції буквами a і b, висоту – буквою h, то площа трапеції можна виразити формулою:
S = ½ (a + b) h
Нагадаємо, що підстави трапеції паралельні. Тому висоту можна проводити з будь-якої точки одного підстави до прямої, на якій лежить інша підстава (або, що частіше, до нього самого).
Зазвичай теорему про площу трапеції формулюють так: площа трапеції дорівнює напівсумі її підстав на висоту. Доведемо цю теорему.
Розглянемо трапецію ABCD і проведемо в ній діагональ BD, яка розіб’є її на два трикутника ABD і BCD.
Поділ трапеції на два трикутника
Зрозуміло, що площа трапеції являє собою суму площ цих двох трикутників.
Площа будь-якого трикутника дорівнює ½ твори його основи на висоту (підставою вважається сторона, до якої проведена висота). Ця теорема доводиться тут.
Проведемо в трикутниках, отриманих з трапеції, висоти до тих сторін, які є також підставами трапеції. Вийдуть висоти BH і DI.
Доказ площі трапеції
Знайдемо площі трикутників:
SΔABD = ½ * AD * BH
SΔBCD = ½ * BC * DI
Висоти трикутників одночасно є і висотами трапеції. Всі висоти трапеції рівні між собою (бо підстави трапеції паралельні один одному). Тобто BH = DI, і в другому трикутнику ми можемо DI замінити на BH. Тоді, висловлюючи площа трапеції через площі складових її трикутників, отримаємо:
SABCD = ½ * AD * BH + ½ * BC * BH
Якщо винести загальні множники за дужки, то якраз вийде твір ½, висоти і суми підстав:
SABCD = ½ * BH * (AD + BC)