Довести чому дорівнює площа паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку його одного боку на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведена висота, прийнято називати підставою. Тому теорему формулюють так: площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.

Якщо позначити підставу паралелограма буквою a, висоту – буквою h, то площа виражається такою формулою:

S = ah

Відзначимо, що ця формула дуже схожа на площу прямокутника, де вона дорівнює добутку сторін. Однак у випадку паралелограма замість другої сторони використовується висота. Причому повинна бути взята та висота, яка проведена до сторони, яку беруть в якості множника.

Довести теорему про площу паралелограма можна двома способами: через площу трикутника, через площу прямокутника. Розглянемо спочатку перший випадок.

Нехай дано паралелограм ABCD, в якому кут A – гострий, а кут B – тупий. У такому випадку, якщо до сторони AD з кута B провести висоту BH, то вона перетне сторону AD. Якби висота була проведена з кута C, то вона б перетнула не сторони AD, а її продовження за межами паралелограма. Крім того з кута B проведемо діагональ.

Площа паралелограма по трикутнику
Провівши діагональ, ми отримали трикутник ABD. Його площа дорівнює половині від твору його основи на висоту. В даному випадку ½ * AD * BH. Доказ площі трикутника наводиться тут.

Оскільки діагональ BD ділить паралелограм на два рівних трикутника (ΔABD = ΔCDB за трьома сторонами), то його площа дорівнює подвоєної площі будь-якого з цих трикутників (або сумі їх площ). Таким чином отримуємо, що площа паралелограма дорівнює AD * BH, т. Е. Твору основи на висоту.

Другий спосіб докази – через розгляд прямокутника. Проведемо до основи AD дві висоти. Одна з них (BH) перетне сама підстава, а друга (СI) – продовження підстави AD за межі паралелограма (перетне пряму, на якій лежить AD).

Площа паралелограма по прямокутнику
Розглянемо трикутники ABH і DCI. Вони дорівнюють один одному (наприклад по гіпотенузі і кутах BAD і CDI). Якщо ми розглянемо вийшов прямокутник HBCI, то побачимо, що його площа дорівнює площі паралелограма ABCD, т. К., Перетворюючи перший в другій, у паралелограма «відняли» площа ABH, а потім до нього додали рівну площу DCI.

Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін. В даному випадку BH * HI. Але HI ми можемо замінити на AD, так як це рівні відрізки. Таким чином отримуємо, що площа прямокутника дорівнює BH * AD. Оскільки площі паралелограма і прямокутника рівні, то цей твір є і площею паралелограма.

Посилання на основну публікацію