Докази властивості бісектриси кута

Властивість бісектриси кута полягає в тому, що кожна її точка рівновіддалена від сторін кута.

Це властивість можна сформулювати у формі зворотної теореми: всі точки, що лежать всередині кута і рівновіддалені від його сторін, лежать на його бісектрисі.

Слід згадати, що відстань від точки до прямої – це відрізок, перпендикулярний до даної прямої, проведений з даної точки.

Отже, в прямій теоремі треба довести, що якщо з будь-якої точки, що лежить на бісектрисі, провести перпендикуляри до сторін кута, то ці перпендикуляри будуть рівні.

Дійсно, якщо розглядати трикутники, утворені проведеними перпендикулярами, сторонами кута і бісектрисою, то ці трикутники є прямокутними. У них одна сторона спільна (гіпотенуза) і гострі кути, які утворює бісектриса, рівні один одному.

Звідси випливає рівність прямокутних трикутників. Але якщо два трикутника рівні, значить у них рівні і всі сторони. Тобто катети, які є перпендикулярами до сторін кута, рівні. Це означає, що відстані від точки до сторін рівні, тобто точка рівновіддалена. Це й було потрібно довести.

Відзначимо, що подібне доказ доречно лише для кута, менше розгорнутого.

У зворотній теоремі нам дана якась точка всередині кута, яка за умовою рівновіддалена від сторін кута. Треба довести, що ця точка лежить на бісектрисі.

Якщо відомо, що точка рівновіддаленим від сторін кута, значить перпендикуляри з цієї точки на сторони рівні. Проведемо з цієї точки відрізок до вершини кута. Вийдуть два прямокутних трикутника. Він рівні за загальною гіпотенузі і рівним катетам-перпендикулярам.

Якщо два прямокутних трикутника рівні, значить рівні їх відповідні кути. Кути при вершині розглянутого кута, утворені проведеним відрізком від заданої точки до вершини, відповідні, а значить, рівні один одному. Тобто пряма, на якій лежить цей відрізок, є бісектрисою. На цій же прямій лежить і задана за умовою точка, тобто вона належить бісектрисі.

Таким чином доведено, що точка рівновіддалена від сторін кута лежить на його бісектрисі.

Посилання на основну публікацію