Чому дорівнює кут між дотичною і хордою?

Якщо в окружності провести хорду і до кола провести дотичну так, щоб вона стосувалася її в точці одного з кінців хорди, то можна говорити про кути між дотичною і хордою. Кута виходить два, і вони суміжні.

Існує теорема про те, що кути між дотичною і хордою дорівнює половині дуг окружності, укладених усередині відповідних кутів.

Порівняння кутів між дотичною і хордою з кутами дуг
На малюнку в окружності проведена хорда AB. До точки B окружності проведена дотична CD. Кути між дотичною і хордою – це ∠ABC і ∠ABD. Усередині цих кутів укладені дуги відповідно ◡AKB і ◡ALB. Теорема стверджує, що ∠ABC = ½◡AKB, а ∠ABD = ½◡ALB.

Як відомо, дуга кола дорівнює куту між двома радіусами кола, проведеними до її кінців. Тобто ◡AKB = ∠AOB (з того боку, де знаходиться точка K), а ◡ALB = ∠AOB (з того боку, де знаходиться точка L).

Оскільки повна окружність становить 360 °, ми можемо записати, щоб не плутатися в різних кутах AOB, так: ◡AKB = ∠AOB, ◡ALB = 360 ° – ∠AOB.
Враховуючи дані міркування, теорема зводиться до доказу того, що
∠ABC = ½∠AOB
∠ABD = ½ (360 ° – ∠AOB)

Кути OBC і OBD прямі, так як радіус кола, проведений до дотичної, перпендикулярний їй. Відштовхуючись від цих прямих кутів, можна зробити висновок, що
∠ABC = ∠OBC – ∠ABO = 90 ° – ∠ABO
∠ABD = ∠OBD + ∠ABO = 90 ° + ∠ABO

Отже, у нас вийшло, що шукані кути (∠ABC і ∠ABD) виражені через ∠ABO, а треба їх виразити через ∠AOB. Однак ∠ABO і ∠AOB пов’язані між собою, так як є кутами рівнобедреного трикутника ABO з основою AB. Як відомо, кути при основі рівні, а сума кутів трикутників дорівнює 180. Значить,
∠ABO = (180 – ∠AOB) / 2 = ½ (180 – ∠AOB) = 90 – ½∠AOB

Підставами отриманий вираз кута ABO у вираз, якому дорівнює кут ABC:
∠ABC = 90 – ∠ABO = 90 – (90 – ½∠AOB) = ½∠AOB

Ми отримали один з виразів, яке потрібно довести. Тобто один з кутів між хордою і дотичній дорівнює половині дуги, укладеної в цьому вугіллі.

Тепер також обчислимо кут ABD:
∠ABD = 90 + ∠ABO = 90 + (90 – ½∠AOB) = 180 – ½∠AOB = ½ (360 – ∠AOB)

Як бачимо, тут також отримано вираз, який потрібно було довести.

Посилання на основну публікацію