Зв’язок між потенціалом і напруженістю електричного поля

Потенціал є важливою характеристикою електричного поля. Потенціал визначає всілякі енергетичні характеристики процесів, які проходять в електричному полі.

Крім того, розрахунок потенціалу поля простіше розрахунку напруженості, хоча б тому, що він є скалярною (а не векторною) величиною. Безумовно, що потенціал і напруженість поля пов’язані між собою і зараз ми встановимо цей зв’язок.

Нехай в довільному електростатичному полі точковий заряд q звершив мале переміщення Δr з точки 1 в точку 2.

Як і слід було очікувати, зв’язок між різницею потенціалів і напруженістю поля аналогічний зв’язку між зміною потенційної енергії і діючою силою. Так, якщо уздовж деякої прямої (назвемо її віссю X), проекція вектора напруженості на цю вісь змінюється по деякому закону EX(x), то площа під графіком цієї функції між точками з координатами x1 і x2 чисельно дорівнює різниці потенціалів між цими точками, взятих з протилежним знаком.

Зауважимо, що якщо рухатися вздовж напрямку вектора напруженості, то потенціал поля буде зменшуватися, так як при такому русі поле здійснює позитивну роботу, тому енергія взаємодії зменшується.

Так як електростатичне поле є потенційним, то результат підсумовування у формулі () не залежить від обраної лінії, важливо тільки, щоб вона починалася в точці 1 і закінчувалася в точці 2.

До речі, з подібною конструкцією сума скалярних добутків вектора на малий елемент траєкторії ми вже неодноразово зустрічалися. Нагадаємо, що така сума, обчислена по замкнутій траєкторії, називається циркуляцією векторного поля.

Так як електростатичне поле потенційне, то циркуляція вектора напруженості електростатичного поля по будь-якій замкнутій лінії дорівнює нулю ГE = 0.

Таким чином, ми сформулювали другу найважливішу теорему для вектора напруженості стаціонарного електростатичного поля. Ніякого нового фізичного змісту в цій теоремі немає – це просто повторення в іншій формі властивості потенційності.

Зауважимо також, що теорема про циркуляцію стверджує, що в електростатичному полі не може бути замкнутих силових ліній, всі силові лінії починаються і закінчуються на електричних зарядах, або що рівносильно – єдиними джерелами електростатичного поля є електричні заряди.

Зауважимо, що дане твердження справедливо тільки в статичних полях (не залежних від часу), надалі ми познайомимося з електричним полями, в яких існують замкнуті силові лінії, такі поля породжуються мінливими магнітними полями.

Отриманим виразами:

для напруженості поля можна дати і графічну інтерпретацію:

Коефіцієнт нахилу дотичної до графіка залежності φ (x), узятий з оберненим знаком, чисельно дорівнює проекції вектора напруженості на вісь X.

У загальному випадку потенціал електричного поля залежить від трьох координат точки, тому графічно представити цю залежність неможливо.

Ми вже користувалися залежністю потенціалу від однієї координати φ (x) і будували графіки цієї залежності. Фактично, ми задавали залежність потенціалу від однієї координати, при русі вздовж прямої паралельної осі x, якщо ми виберемо іншу пряму, також паралельну осі x, то отримаємо іншу функцію φ(x).

Тому при розгляді подібних залежностей треба явно вказувати на якому прямі розглядається потенціал.

Найпростіше, щоб уникнути плутанини, вказувати в явному вигляді при яких значеннях інших координат y0 = const, z0 = const розглядається залежність φ (x) = φ (x, y0, z0). Аналогічно можна вивчати залежність потенціалу від двох координат, вважаючи третю постійною: наприклад, φ (x, y) = φ (x, y, z0). Тобто, розглядати розподіл потенціалу в деякій площині паралельній координатній площини xOy, яка знаходить на відстані z0 від неї.

Графічно ця залежність може бути представлена ​​деякою поверхнею, висота точок якої пропорційна потенціалу в даній точці, таку поверхню далі будемо називати потенційною, за аналогією з потенційними кривими, розглянутими нами раніше. Так на малюнку, як приклад, показана потенційна поверхня поля точкового заряду, в площині, яка містить заряд цей заряд.

Якщо ми хочемо побудувати розподіл потенціалу в площині xOy, то у формулі слід покласти z = 0.

Поверхня, описувана цим рівнянням, показана на малюнку.

Зауважимо, що на початку координат потенціал прагне до нескінченності, тому зображення потенційної поверхні штучно обрізаний зверху.

Потенційні поверхні будувати не легко, для цього, як правило, використовується комп’ютер.

Однак зображення таких поверхонь бувають дуже корисними при аналізі руху заряджених частинок.

Так рух позитивно зарядженої частинки в полі, який описується заданою потенційною поверхнею, аналогічно руху масивної кульки в полі тяжіння землі по геометричній поверхні, яка збігається з потенційною.

Лінії рівного потенціалу та потенційні поверхні тісно пов’язані між собою. Фактично лінії рівного потенціалу є перетинами потенційної поверхні. Сімейство еквіпотенціальних ліній повністю аналогічно лініям рівної висоти (ізолінії) на географічній карті.

На малюнку нижче показана потенційна поверхня електростатичного поля, яка створена двома точковими зарядами одного знака, але різної величини, в площині, що містить ці заряди. Нижче побудовано сімейство еквіпотенціальних ліній цього поля в тій же площині. Ці лінії є лініями рівня для потенційної поверхні.

У даному прикладі легко уявити і сімейство тривимірних еквіпотенціальних поверхонь.

Система двох точкових зарядів володіє осьовою симетрією – віссю симетрії є пряма, яка проходить через обидва заряду, на малюнку вона позначена як вісь X. Тому і поле, і його еквіпотенціальні поверхні володіють осьовою симетрією – досить повернути картину еквіпотенціальних ліній навколо осі X, щоб отримати сімейство еквіпотенціальних поверхонь.

Еквіпотенціальні поверхні також тісно пов’язані з силовими лініями електричного поля.

Якщо електричний заряд переміщається по еквіпотенційній поверхні, то робота поля дорівнює нулю. Так робота по переміщенню заряду q пропорційна зміні потенціалу δA = -qΔφ, а на еквіпотенційній поверхні Δφ = 0. З іншого боку ця робота виражається через напруженість поля E як


де

  • Δr – вектор переміщення заряду;
  • α – кут між векторами напруженості поля і переміщення.

Якщо вектор переміщення спрямований уздовж еквіпотенційної поверхні, то робота поля дорівнює нулю. Отже, вектор напруженості в цьому випадку перпендикулярний вектору переміщення (косинус прямого кута дорівнює нулю). Таким чином, силові лінії електростатичного поля перпендикулярні еквіпотенціальній поверхні.

Якщо ж вектор переміщення спрямований уздовж силової лінії, то зміна потенціалу буде максимальною, отже, силові лінії вказують напрямки максимальної зміни (точніше зменшення) потенціалу.

На малюнку вище показані одночасно сімейства силових ліній і сімейство еквіпотенціальних поверхонь поля двох точкових зарядів, розглянутих раніше.

Посилання на основну публікацію