Закон збереження моменту імпульсу

Основне рівняння динаміки обертального руху збігається з рівнянням другого закону Ньютона для поступального руху. Тому для опису обертального руху можна провести аналогічні узагальнення, що призвели нас до закону збереження імпульсу.

Фізична величина L = Iω – називається моментом імпульсу. Рівняння (2) виявляється застосовним і для опису обертання тіл, момент інерції яких змінюється в процесі руху, тому має більш широку область застосовності, ніж рівняння (1). Тепер основне рівняння динаміки формулюється у вигляді: швидкість зміни моменту імпульсу тіла дорівнює сумарному моменту сил, що діє на тіло. Довести теоретично це твердження неможливо – ми провели узагальнення, яке підтверджується численними експериментами.

Введене нами визначення моменту імпульсу L = Iω є окремим випадком для цієї фізичної величини. Дамо ще одне визначення цієї фізичної величини. Нехай матеріальна точка маси m рухається зі швидкістю υ⃗ υ →. Імпульсом тіла називається векторна величина p⃗ = mυ⃗ p → = mυ →. Моментом імпульсу називається твір імпульсу тіла на плече імпульсу (відстань від осі обертання до прямої, уздовж якої спрямований імпульс)

Це визначення аналогічно визначенню моменту сили. Можна дати еквівалентні вирази формули (3): L = mυd = mυrcos α = mυxr, де r – відстань від осі обертання до розглянутої матеріальної точки, υx – складова швидкості, перпендикулярна радіус-вектору розглянутого точкового тіла (рис. 76).

Аналогічно моменту сили момент імпульсу може бути визначений як векторна фізична величина, спрямована перпендикулярно площині, що містить вектор імпульсу mυ⃗ mυ → і радіус-вектор r⃗ r →. При такому визначенні вектор моменту імпульсу дорівнює векторному добутку зазначених векторів L⃗ = r⃗ × mυ⃗ L → = r → × mυ →. Основне рівняння динаміки обертального руху також записується у векторній формі.

Легко показати, що при обертанні тіла навколо нерухомої осі, з формули (3) випливає вираз для моменту імпульсу L = Iω. Дійсно, при обертанні навколо нерухомої осі вектор швидкості перпендикулярний прямій, що сполучає точку тіла з віссю обертання, величина швидкості виражається через кутову швидкість υ = ωr (рис. 77). Тому момент імпульсу виражається формулою L = mυr = mr2ω = Iω, де I = mr2. Якщо ж розглянути обертання довільного тіла, то для того, щоб обчислити момент імпульсу всього тіла, досить подумки розбити його на малі частини і підсумувати моменти імпульсів всіх малих частин. Так як кутові швидкості всіх точок однакові, то підсумовування зведеться до підсумовування моментів інерції точок.

Легко помітити, що при русі довільної системи матеріальних точок зміна сумарного моменту імпульсу повністю визначається моментом зовнішніх сил. За третім законом Ньютона тіла взаємодіють з силами рівними за величиною і протилежними за напрямком. Так як сили взаємодії спрямовані вздовж однієї прямої, то плечі цих сил рівні. Отже, при підсумовуванні рівнянь обертального руху для довільної системи моменти внутрішніх сил взаємно знищаться (подібно до того, як взаємно знищуються внутрішні сили при додаванні рівнянь поступального руху). Таким чином, для довільної системи матеріальних точок виявляється справедливим рівняння (3), в якому M⃗ M → – вектор моментів тільки зовнішніх сил.

Для замкнутої системи тіл, які не взаємодіють з іншими тілами, які не включеними в систему, момент зовнішніх сил дорівнює нулю, тому для замкнутої системи сумарний момент імпульсу зберігається. Це твердження виражає ще один фундаментальний фізичний закон – закон збереження моменту імпульсу.

У теоретичній фізиці показано, що він є наслідком ізотропності [1] простору, в якому відбуваються всі фізичні явища. Якщо ви впевнені в тому, що результати фізичного експерименту однакові, незалежно від того, як орієнтована ваша експериментальна установка, то ви повинні визнати закон збереження імпульсу.

Посилання на основну публікацію