Визначення закону руху по відомій залежності швидкості від часу

Зараз ми покажемо, що за відомою довільної залежності швидкості руху від часу і початкового стану можна, в принципі, знайти закон руху. Вирішення цього завдання може викликати певні математичні проблеми, але, підкреслимо, це завдання можна вирішити.

Нехай матеріальна точка рухається вздовж прямої, уздовж якої направимо координатну вісь X. Припустимо, якимось чином, нам стала відома залежність швидкості матеріальної точки від часу, що задається функцією υ (t). Проблема полягає в побудові закону руху матеріальної точки, т. Е. Визначенні координати точки в довільний момент часу t – x (t). Це завдання може бути дозволена наступним чином: мислення розіб’ємо час руху на N малих інтервалів часу Δti, де i – номер інтервалу часу, що пробігає ряд натуральних чисел i = 1,2,3 … N (рис. 20). Ясно, що сума всіх часових проміжків повинна дорівнювати розглянутого часового інтервалу

Δt1 + Δt2 + Δt3 + … + ΔtN = t-t0 Δt1 + Δt2 + Δt3 + … + ΔtN = t-t0.
Якщо обрані проміжки часу достатньо малі, можна знехтувати зміною швидкості протягом цього проміжку часу. Тоді зміна координати за малий проміжок часу Δti наближено можна вважати рівним Δxi = υ (ti) Δti, де υ (ti) – середня швидкість на розглядуваному проміжку часу. Якщо в момент часу t0 координата точки дорівнює x0, то в момент часу t координата точки розраховується за формулою

x (t) = x0 + Δx1 + Δx2 + Δx3 + … + ΔxN = x0 + υ1Δt1 + υ2Δt2 + υ3Δt3 + … + υNΔtN x (t) = x0 + Δx1 + Δx2 + Δx3 + … + ΔxN = x0 + υ1Δt1 + υ2Δt2 + υ3Δt3 + … + υNΔtN.
Природно, чим менше довжина обраних інтервалів часу Δti, тим з більшою точністю ми знайдемо координату точки в момент часу t. Отже, вибираючи інтервали все більш малими, ми можемо розрахувати координату точки з будь наперед заданою точністю. Таким чином, перебування закону руху зводиться до стомлюючої математичної процедурою. На щастя, давно розроблені методи обчислення подібних сум для довільних залежностей швидкостей від часу. Ці методи складають суть інтегрального числення. Застосований нами графічний метод визначення закону руху фактично є одним із способів обчислення подібних сум. Підкреслимо, що проблема обчислення подібних сум є математичною, фізичний зміст якої цілком очевидний – на нескінченно малому інтервалі часу рух приблизно рівномірний.

Подібний підхід – розбиття на дуже малі інтервали з подальшим підсумовуванням надзвичайно широко поширений в різних фізичних теоріях, надалі ми будемо їм постійно користуватися. Тому має сенс використовувати спеціальні позначення для різних сум, які дуже давно використовуються в математиці.

Img Slob-10-2-sum.jpg
Для позначення операції підсумовування використовується спеціальний символ Σ – грецька буква «сигма».

У тих випадках, коли межі підсумовування очевидні, обмежуються більш коротким записом, вказуючи тільки позначення індексу підсумовування

З використанням позначення суми формула для розрахунку закону руху стисло може бути записана у вигляді

x (t) = x0 + υ1Δt1 + υ2Δt2 + υ3Δt3 + … + υNΔtN = x0 + ΣNi = 1υiΔti x (t) = x0 + υ1Δt1 + υ2Δt2 + υ3Δt3 + … + υNΔtN = x0 + Σi = 1NυiΔti.
Підкреслимо дуже важлива обставина – для однозначного визначення закону руху мало знати залежність швидкості від часу υ (t), необхідно ще одне початкова умова – значення координати x0 в деякий момент часу t0.

Посилання на основну публікацію