Визначення закону руху – основне завдання кінематики

Ми визначили кінематичні характеристики механічного руху – швидкість, прискорення (швидкість зміни швидкості). У загальному випадку прискорення також може змінюватися в процесі руху, тому можна було б ввести і таку характеристику руху як «швидкість зміни прискорення». Однак, вона вже є зайвою, оскільки закони динаміки дозволяють знаходити саме прискорення руху. Тому основне завдання кінематики в самій загальній постановці формулюється наступним чином: за відомою залежності прискорення від часу, координати і швидкості знайти закон руху тіла.

Розглянемо загальний алгоритм розв’язання рівнянь динаміки, які мають вигляд

a = f (t, x, υ) a = f (t, x, υ), (1)
де a = ΔυΔt a = ΔυΔt, прискорення точки, що рухається уздовж осі X, υ = ΔxΔt υ = ΔxΔt – швидкість тіла, f – відношення суми сил, що діють на тіло, до маси тіла. Дійсно, на тіло можуть діяти сили, які залежать від координат (сили пружності, гравітаційного, електричного і магнітного взаємодій і т.д.), швидкості (розглянута сила опору повітря, сила Лоренца і т.д.), від часу (зовнішні змінні сили). Тому рівняння (1) є найбільш загальним.

Важко запропонувати що-небудь більш оригінальне, ніж в черговий раз розбити час руху на малі проміжки часу Δt і спробувати визначити наближені значення координати xk і швидкості υk в дискретні моменти часу tk = t0 + kΔt (k = 1,2,3 …). Знаючи початкові умови (при t = t0, x = x0, υ = υ0) можна обчислити початкове прискорення a0 = f (t0, x0, υ0). Протягом малого проміжку часу Δt можна знехтувати зміною прискорення і вважати рух рівноприскореним.

Підкреслимо, що описаний метод вирішення основного завдання механіки носить скоріше теоретичний характер – він є доказом принципової можливості розв’язання поставленого завдання. При вирішенні більшості завдань він використовується вкрай рідко – розроблені більш досконалі методи, іноді дозволяють отримає аналітичне (у вигляді формули) вираз для закону руху. Для вирішення багатьох завдань механіки використовуються надзвичайно складні математичні методи, більш того, саме потреби механіки в чому стимулювали розвиток математики (досить сказати, що основи диференціального й інтегрального числень були розроблені І. Ньютоном для вирішення механічних завдань). Правда, число завдань, що допускають аналітичне рішення, невелика, тому в даний час для розрахунку руху широко використовують наближені комп’ютерні методи, що дозволяють отримати рішення з будь-якої необхідної точністю. Суть цих методів і зводиться до розбиття руху на малі інтервали, аналогічно розглянутому методу Ейлера.

Найістотнішим у нашому викладі – переконаність у тому, що знання залежності прискорення від часу, координат і швидкості, а також початкових умов (координат і швидкостей в деякий момент часу), дозволяє розрахувати закон руху будь механічної системи.

Завдання для самостійної роботи.

1. Нехай для матеріальної точки, що рухається уздовж осі X, відома залежність швидкості точки від координати υ (x). Побудуємо графік залежності величини зворотного швидкості 1υ (x) 1υ (x) від координати. Який сенс має площу під графіком залежності 1υ (x) 1υ (x)? Розробіть процедуру розрахунку закону руху матеріальної точки x (t) по відомій залежності υ (x).

Посилання на основну публікацію