Вихровий рух рідини. Циркуляція швидкості

Кожному знайоме рух води в річці – крім плавного майже однорідної руху, часто зустрічаються вихори, вири. За допомогою теорем про потік не можна описати вихровий рух – у вихорі потік через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю. Тому поява вихорів не змінює потоки рідини через замкнуту поверхню. Таким чином, необхідно «придумати» ще одну характеристику руху рідини, залежну від наявності або відсутності вихорів.

Якщо в рухомої рідини присутні вихори, то можна знайти замкнуту лінію, рухаючись уздовж якої весь час «будеш плисти за течією» (Мал. 111). Якщо ж вихори відсутні, то при русі по замкнутої лінії на деяких ділянках обов’язково доведеться «плисти проти течії». Саме це відмінність дозволяє побудувати необхідну величину, визначальну наявність ділянок вихрового руху.

Розглянемо довільну лінію (зовсім не обов’язково, щоб це була лінія струму). Виділимо на цій ділянці мала ділянка, який визначається вектором Δl⃗ Δl → (рис. 112). Нехай швидкість рідини на цій ділянці дорівнює V⃗ V →, обчислимо скалярний добуток цих векторів ΔΓ = V⃗ ⋅Δl⃗ = VΔlcosα ΔΓ = V → ⋅Δl → = VΔlcos⁡α, де α – кут між вектором швидкості і дотичним вектором до обраної лінії (він збігається з виділеним малим ділянкою Δl⃗ Δl →). Далі візьмемо довільну замкнуту лінію, розіб’ємо її на малі ділянки Δl⃗ i Δl → i, на кожному з яких обчислимо скалярний добуток ΔΓ = V⃗ ⋅Δl⃗ = VΔlcosα ΔΓ = V → ⋅Δl → = VΔlcos⁡α, і підсумуємо їх по всіх ділянках замкнутої лінії (контуру)

ΔΓ = V1Δl1cosα1 + V2Δl2cosα2 + V3Δl3cosα3 + … = ΣiViΔlicosαi ΔΓ = V1Δl1cos⁡α1 + V2Δl2cos⁡α2 + V3Δl3cos⁡α3 + … = ΣiViΔlicos⁡αi. (1)
Побудована таким чином, математична конструкція називається циркуляцією вектора швидкості по заданому контуру L. Побудована величина може бути як позитивною, так і негативною, її знак визначається довільним вибором позитивного напрямку обходу контуру. Але так вже історично склалося, що у фізиці позитивним приймається напрямок обходу проти годинникової стрілки.

Якщо в рухомої рідини вихори відсутні, то циркуляція швидкості по будь-якому контуру дорівнює нулю (рис. 113). Якщо ж обраний контур лежить в області вихору, то циркуляція вектора швидкості буде відмінна від нуля. Таким чином, циркуляція визначає присутність вихрового руху. Фізичні властивості рухомої рідини такі, що її рух може бути як безвихровим (ламінарним), так і вихровим (турбулентним). Тому сформулювати яку-небудь просту теорему про циркуляцію для рухомої рідини важко. Однак математичне поняття циркуляції широко використовується для опису інших полів. Для прикладу можна вказати знамениту теорему Жуковського, яка стверджує, що підйомна сила крила літака пропорційна циркуляції швидкості повітря по контуру, що охоплює крило.

Звернімося ще раз до визначення циркуляції за формулою (1). Якщо в цій математичної конструкції замінити вектор швидкості вектором сили, що діє на деякий тіло, то ми побачимо, що циркуляція вектора сили є роботою сили при переміщенні тіла з даного контуру. Тобто циркуляція вектора сили має явний фізичний зміст. Раніше ми визначили поняття потенційності сили (сила, робота якої не залежить від форми траєкторії), тепер це ж визначення можна сформулювати математично іншим чином: сила потенціальна, якщо її робота по будь-якому контуру дорівнює нулю.

І надалі ми будемо зустрічатися з подібною ситуацією – в деяких випадках та чи інша конструкція має наочний фізичний зміст, в інших є просто зручною допоміжної математичної величиною.

Доведено, що закони, що визначають потік векторного поля через будь-яку замкнуту поверхні, і циркуляцію по будь-якому контуру, однозначно дозволяють розраховувати саме векторне поле. Тому й фізичні закони для реальних полів формулюються саме в такій формі.

Посилання на основну публікацію