Вільні коливання

Вільні коливання (або власні коливання) – це коливання коливальної системи, які здійснюються тільки завдяки повідомленій енергії (потенційній або кінетичній) при відсутності зовнішніх впливів.

Потенційна або кінетична енергія може бути повідомлена, наприклад, в механічних системах через початковий зсув або початкову швидкість.

Тіла, що вільно коливаються, завжди взаємодіють з іншими тілами і разом з ними утворюють систему тіл, яка називається коливальною системою.

Наприклад, пружина, кулька і вертикальна стійка, до якої прикріплений верхній кінець пружини, входять в коливальну систему. Тут кулька вільно ковзає по струні (сили тертя пренебрежимо малі). Якщо відвести кульку вправо і надати її самому собі, вона буде робити вільні коливання біля положення рівноваги (точки О) внаслідок дії сили пружності пружини, спрямованої до положення рівноваги.

Іншим класичним прикладом механічної коливальної системи є математичний маятник.

В даному випадку кулька робить вільні коливання під дією двох сил: сили тяжіння і сили пружності нитки (в коливальну систему входить також Земля). Їх рівнодіюча спрямована до положення рівноваги.

Сили, що діють між тілами коливальні системи, називаються внутрішніми силами. Зовнішніми силами називаються сили, що діють на систему з боку тіл, що не входять в неї. З цієї точки зору вільні коливання можна визначити як коливання в системі під дією внутрішніх сил після того, як система виведена з положення рівноваги.

Умовами виникнення вільних коливань є:

  • виникнення в них сили, що повертає систему в положення стійкої рівноваги, після того як її вивели з цього стану;
  • відсутність тертя в системі.

Коливання тіла під дією сил пружності. Рівняння коливального руху тіла під дією сили пружності F може бути отримано з урахуванням другого закону Ньютона

(F = mа)

і закону Гука

(Fпр = -kx), де

  • m – маса кульки;
  • а – прискорення, що здобувається кулькою під дією сили пружності;
  • k – коефіцієнт жорсткості пружини;
  • х – зміщення тіла від положення рівноваги (обидва рівняння записані в проекції на горизонтальну вісь Ох).

Це диференціальне рівняння руху тіла, що коливається під дією сили пружності: друга похідна координати за часом (прискорення тіла) прямо пропорційна його координаті, взятої з протилежним знаком.

Коливання математичного маятника

Для отримання рівняння коливання математичного маятника необхідно розкласти силу тяжіння FT = mg на нормальну Fn (спрямовану уздовж нитки) і тангенціальну Fτ (дотичну до траєкторії руху кульки – окружності) складові. Нормальна складова сила тяжіння Fn і сила пружності нитки Fпр в сумі повідомляють маятнику доцентрове прискорення, яке не впливає на величину швидкості, а лише міняє її напрямок, а тангенціальна складова Fτ є тією силою, яка повертає кульку в положення рівноваги і змушує її робити коливальні рухи. Використовуючи, як і в попередньому випадку, закон Ньютона для тангенціального прискорення maτ = Fτ і враховуючи, що Fτ = -mg sinα, отримаємо:

aτ = -g sinα,

Знак мінус з’явився тому, що сила і кут відхилення від положення рівноваги α мають протилежні знаки. Для малих кутів відхилення sin α ≈ α.

Посилання на основну публікацію