Теорема Кастіліано

Теорема Кастіліано застосовна для вирішення таких завдань, коли між силами і переміщеннями існує лінійна залежність: приватна похідна від потенційної енергії системи за силою дорівнює переміщенню точки прикладання сили у напрямку цієї сили.
Під переміщенням тут розуміється проекція повного переміщення по заданому напрямку. Таким чином, під переміщенням точки прикладання сили по напрямку сили розуміється проекція на напрямок сили повного переміщення розглянутої точки.
Для доведення теореми розглянемо пружне тіло, що відчуває на собі довільну навантаження системи сил P. В результаті роботи зовнішніх сил в цьому тілі накопичується потенційна енергія U. Однією з сил P1 дамо приріст dPn, відповідно, потенційна енергія одержить збільшення і запишеться наступним чином:

Тепер змінимо порядок діючих сил, спочатку впливаємо на тіло силою dPn, в точці прикладання сили переміщення позначимо dδn, тоді робота цієї сили дорівнює 1 / 2dPndδn. Тепер навантажимо тіло всією системою зовнішніх сил. За відсутності сили dPn потенційна енергія прийняла б значення U, але робота на переміщенні dδn внесе вклад dPnδn.
Up = U + dPnδn + ½dPndδn = U + dPnδn
Третє складова не розглядається внаслідок його малості. Множник 1/2 перед другим доданком відсутня, оскільки на переміщенні dδn сила dPn постійна.

Теорема Кастіліано непридатна до систем, для яких принцип незмінності початкових розмірів і принцип незалежності дії сил не є справедливими.

Посилання на основну публікацію