Теорема Гаусса

Слід зауважити, що теорему Гаусса, яка пов’язує величину заряду Q з електричним полем Е навколо цього заряду, у вітчизняній літературі прийнято називати теоремою Остроградського – Гаусса. Вважається, що російський вчений Остроградський довів цю теорему незалежно від Гаусса. Не вдаючись у суперечки про пріоритет, покажемо, що теорема Остроградського-Гаусса елементарно виводиться із закону Кулона. Нагадаємо, що закон Кулона має вигляд: F = Qq / 4πε0r2 (34.1), де Q – заряд тіла, q – малий (пробний) заряд, r – відстань від тіла до малого заряду, ε0 – електрична стала. Полем E ми по колишньому називаємо відношення сили F до малого заряду q: E = F / q.
Перепишемо (34.1) у вигляді: E = Q / (4π ε0 r2) або: E * 4π r2 = Q / ε0 (34.2). Зліва в (34.2) коштує поле E, помножене на площу поверхні сфери радіуса r: 4π r2 = S0. Твір будь-якого поля на площу поверхні, через яку це поле проходить, Фарадей назвав потоком поля Ф. Тоді можна написати: Ф = Q / ε0 (34.3). Рівняння (34.3) називають теоремою Остроградського – Гаусса. Відповідно до цієї теореми, потік Ф електричного поля Е через замкнену поверхню дорівнює зарядуQ всередині неї, поділеній на ε0. Значення універсальної постійної ε0 одно 0,885х10-11 ф / м.
Завдання. Обчислити напруженість електричного поля Е для дроту діаметром 2 r поблизу його поверхні.
Рішення. Дослідами доведено, що вільні електрони розміщуються головним чином на поверхні зарядженого тіла, тому що їх витісняють поля зв’язаних електронів. Виберемо ділянку проводу довжиною l з площею поверхні s = 2π r l. Теорема Гаусса для проводу має вигляд: Ф = E s = E 2π rl = Q / ε0, звідки E = Q / (2π rl ε0). Введемо поняття лінійної щільності заряду дроти: λ = Q / l, тоді для проводу: E = λ / (2π r ε0) (343.4). Це є відповідь.

Посилання на основну публікацію