Сила тяжіння

Розглянемо гравітаційна взаємодія між однорідної сферою радіуса R і маси M і матеріальною точкою маси m, що знаходиться на відстані r від центра сфери (рис. 58). Відповідно до викладеної вище методикою розрахунку сил, необхідно розбити сферу на малі ділянки і підсумувати сили, що діють на матеріальну точку, з боку всіх ділянок сфери. Таке підсумовування вперше було проведено І. Ньютоном. Не вдаючись у математичні тонкощі проведеного розрахунку, наведемо остаточний результат: результуюча сила спрямована до центру кулі (що цілком очевидно), а величина цієї сили визначається формулою F = GMmr2 F = GMmr2.

Іншими словами, сила взаємодії виявилася такою ж, як сила взаємодії двох точкових тіл, одне з яких поміщено в центр сфери, і його маса дорівнює масі сфери. Істотним у цьому розрахунку виявилася та обставина, що сила гравітаційної взаємодії обернено пропорційна квадрату відстані між точковими тілами, при будь-якій іншій залежності сили від відстані наведений результат розрахунку виявився б не вірним.

Отриманий висновок очевидним чином узагальнюється на взаємодію точкового заряду і однорідної кулі. Для доказу достатньо розбити кулю на тонкі сферичні шари.

Аналогічно можна показати, що сила гравітаційної взаємодії між двома сферично симетричними тілами дорівнює силі взаємодії між матеріальними точками таких же мас, розташованих у центрах тел. Тобто при розрахунку гравітаційної взаємодії сферично симетричні тіла можна вважати матеріальними точками, розташованими в центрах цих тіл, незалежно від розмірів самих тіл і відстані між ними (рис. 59).

Вектори прискорення вільного падіння в різних точках не паралельні, оскільки спрямовані до центру Землі. Однак якщо розглядати точки, що знаходяться на невеликий у порівнянні з радіусом Землі висоті, то можна знехтувати розходженням у напрямках прискорення вільного падіння і вважати, що у всіх точках розглянутій області поблизу поверхні Землі вектор прискорення постійний як за величиною, так і за напрямком (рис. 60). У рамках такого наближення, ми будемо називати силу тяжіння однорідною.

Завдання для самостійної роботи.

Оцініть, на якій висоті над поверхнею Землі прискорення вільного падіння зменшується на 1%, в порівнянні з прискоренням на поверхні Землі.
На якій відстані біля поверхні землі кут між векторами прискорень вільного падіння дорівнює 1 °?
Строго кажучи, модуль прискорення вільного падіння різний у різних точках земної поверхні. Ці відмінності обумовлені, по-перше, відмінністю форми Землі від кулястої, по-друге, непостійністю щільності Землі. Зауважимо, що при визначенні прискорення вільного падіння необхідно брати до уваги обертання Землі, яке призводить до зменшення експериментально спостережуваного значення прискорення в порівнянні з формулою (5), крім того, обертання Землі також призводить до відхилення напрямки прискорення вільного падіння, від напрямку на центр Землі . У деяких випадках ці поправки, пов’язані з обертанням Землі включають в силу тяжіння. Ми ж, однак, воліємо називати силою тяжіння, тільки ту силу, яка викликана гравітаційною взаємодією, а експериментально спостережувані малі поправки до законів руху, викликані обертанням Землі, розглядати окремо, тим більше, що вони малі і дуже часто ними можна знехтувати.

Сила тяжіння, що діє на тіло, є сумою сил, що діє на його окремі частини. Якщо вважати силу тяжіння однорідною, то сумарна сила тяжіння, що діє на тіло дорівнює добутку маси всього тіла на прискорення вільного падіння. Більш складним є питання і точки докладання сили тяжіння. За своєю природою сила тяжіння є розподіленою, діючої на всі частини тіла. Якщо нас цікавить тільки величина сумарної сили тяжіння, то її точка докладання нас не цікавить. Однак у багатьох випадках (наприклад, при дослідженні умов рівноваги) нас цікавить не тільки сама сила, але і її момент. Можна вибрати таку точку прикладання сумарної сили тяжіння, щоб її момент був дорівнює сумі моментів сил тяжіння, що діє на окремі частини тіла. Така точка називається центром ваги тіла.

Посилання на основну публікацію