Середня і миттєва швидкість при русі точки по прямій

Як ми вже відзначали, рівномірний рух є найпростішою моделлю механічного руху. Якщо така модель незастосовна, то необхідно використовувати більш складні моделі. Для їх побудова нам необхідно розглянути поняття швидкості у випадку нерівномірного руху.

Нехай за інтервал часу від t0 до t1 координата точки змінилася від x0 до x1. Якщо ми обчислимо швидкість по колишньому правилом

υcp = ΔxΔt = x1-x0t1-t0 υcp = ΔxΔt = x1-x0t1-t0, (1)
то отримаємо величину (вона називається середньою швидкістю), яка описує швидкість руху «в середньому» – цілком можливо, що за першу половину часу руху точка змістилася на більшу відстань, ніж за другу.

Середньою швидкістю називається фізична величина дорівнює відношенню зміни координати точки до інтервалу часу, протягом якого ця зміна відбулася.

Геометричний зміст середньої швидкості – коефіцієнт нахилу січної AB графіка закону руху.

Для більш детального, більш точного опису руху, можна задати два значення середньої швидкості – за першу половину часу руху υср1, за другу половину – υср2 .Если і така точність нас не влаштовує – то необхідно доробити тимчасові інтервали далі – на чотири, вісім і т .буд. частин. При цьому необхідно задавати відповідно чотири, вісім і т.д. значень середніх швидкостей. Погодьтеся, такий опис стає громіздким і незручним. Вихід з цієї ситуації давно знайдений – він полягає в тому, що б розглядати швидкість як функцію часу.

Давайте подивимося, як буде змінюватися середня швидкість при зменшенні проміжку часу, за який ми цю швидкість обчислюємо. На рис.6 показаний графік залежності координати матеріальної точки від часу. Будемо обчислювати середню швидкість за інтервал часу від t0 до t1, послідовно наближаючи значення t1 до t0. При цьому сімейство січних A0A1, A0A1 ‘, A0A1’ ‘(рис.6), буде прагнути до деякого граничного положенням прямої A0B, яка є дотичної до графіка закону руху. Ми приводимо, два різних випадку, щоб показати, що миттєва швидкість може бути як більше, так і менше середньої швидкості. Цю процедуру можна описати і алгебраїчно, послідовно обчислюючи відносини υcp = x1-x0t1-t0 υcp = x1-x0t1-t0, υ’cp = x’1-x0t’1-t0 υcp ‘= x1′-x0t1’-t0, υ ” cp = x”1-x0t”1-t0 υcp “= x1” -x0t1 “-t0. При цьому виявляється, що ці величини наближаються до деякого цілком певному значенню. Це граничне значення отримало назву миттєвої швидкості.

Геометричний зміст миттєвої швидкості – коефіцієнт нахилу дотичної до графіка закону руху.

Таким чином, ми «прив’язали» значення миттєвої швидкості до конкретного моменту часу – задали значення швидкості в даний момент часу, в даній точці простору. Тим самим у нас з’явилася можливість розглядати швидкість тіла як функцію часу, або функцію координати.

З математичної точки зору це набагато зручніше, ніж задавати значення середніх швидкостей на багатьох малих часових проміжках. Однак давайте задумаємося, а чи має фізичний зміст швидкість в даний момент часу? Швидкість – характеристика руху, в даному випадку переміщення тіла в просторі. Для того щоб зафіксувати переміщення необхідно спостерігати за рухом протягом деякого проміжку часу. Щоб виміряти швидкість, також необхідний проміжок часу. Навіть найдосконаліші вимірювачі швидкості радарні установки вимірюють швидкість рухомих автомобілів нехай за малий (порядку однієї мільйонної частки секунди) проміжок часу, а не в якийсь момент часу. Отже, вираз «швидкість в даний момент часу» з точки зору фізики некоректно. Тим не менш, в механіці постійно користуються поняттям миттєвої швидкості, яке дуже зручно в математичних розрахунках. Математично, логічно ми можемо розглянути граничний перехід Δt → 0, а фізично мається мінімально можливе значення проміжку Δt, за який можна виміряти швидкість.

Надалі, кажучи про швидкість, ми будемо мати на увазі саме миттєву швидкість. Зауважимо, при рівномірному русі миттєва швидкість дорівнює раніше певної швидкості, тому, що при рівномірному русі ставлення ΔxΔt ΔxΔt не залежить від величини проміжку часу, тому залишається незмінним і при як завгодно малому Δt.

Так як швидкість може залежати від часу, то її слід розглядати як функцію часу, і зображати її у вигляді графіка.

Посилання на основну публікацію