Рух в’язкої рідини по горизонтальній трубі

Якщо по горизонтальній трубі постійного перетину буде протікати рідина реальна рідина, для якої не можна знехтувати силами в’язкого тертя, то тиск в трубах не буде постійним, відбудеться перерозподіл тиску, який буде істотно залежати від властивостей рідини. Розглядаючи проблеми виникнення сил в’язкого тертя, ми згадували про таку характеристику рідини як в’язкість. Зараз ми уточнимо це поняття.

Розглянемо плоский потік рідини, в межах якого швидкість υ⃗ (z) υ → (z) різних верств якого змінюється, залишаючись паралельної підставі потоку (рис. 130). У реальної рідини різні верстви рідини, що мають різні швидкості будуть взаємодіяти між собою, тобто між шарами рідини завдяки міжмолекулярної взаємодії будуть виникати сили в’язкого тертя – більш повільний шар буде гальмувати більш швидкий. Важливо відзначити, що ці сили спрямовані паралельно шарам рідини, тобто тангенціально до кордону розділу (рис. 131). Величина цих сил також залежить від розподілу швидкості υ⃗ (z) υ → (z), де z – координата, вісь якої спрямована перпендикулярно швидкості течії.

В’язкість може змінюватися в широких межах, вона мала для легко рухливих рідин, таких як вода, бензин, ефір, і велика для малорухомих рідин таких як масло, мед, смола і т.д. В цілому суворе поняття в’язкості цілком відповідає звичайним уявленням про в’язких і маловязких рідинах. Модель рухомої рідини, в рамках якої нехтують в’язкістю, називається ідеальною рідиною.

Зверніть увагу – у разі нерухомої рідини сили взаємодії між шарами завжди нормальні, в рухомої рідини з’являються тангенціальні складові!

Важливо відзначити, що сили в’язкості не є консервативними, наявність цих сил, їх робота призводить до переходу механічної енергії в теплову, до втрат механічної енергії.

При стаціонарному русі рідини труби на неї з боку стінок діятимуть гальмують сили в’язкого тертя. Тому швидкість руху рідини в поперечному перерізі буде різною, встановиться деякий стаціонарний розподіл швидкостей – швидкість максимальна в центрі труби і наближається до нуля поблизу стінок (рис. 132).

Для розрахунку сил в’язкого тертя, що діють на рідину необхідно, перш за все, знайти розподіл швидкостей рідини всередині труби (використовуючи закон в’язкого тертя), після чого можна обчислити силу опору руху, витрата рідини і так далі.

Для кругової циліндричної труби це завдання було вирішено французьким фізиком Ж. Пуазейля, який встановив, що витрата [2] рідини пропорційний різниці тисків на кінцях труби Δp, четвертого ступеня радіуса труби, обернено пропорційний її довжині

Q = Kr4lΔp Q = Kr4lΔp, (1)
коефіцієнт пропорційності залежить від в’язкості рідини. Якщо поперечний профіль відмінний від кругового, то формула Пуазейля трохи видозмінюється, але витрата рідини залишається пропорційним різниці тисків на кінцях труби

Q = ΔpR Q = ΔpR, (2)
в цій формулі коефіцієнт пропорційності позначений 1R 1R, тоді величина R – називається гідродинамічним опором. Гідростатичний опірділянки труби довжиною Δl можна представити у вигляді R = rΔl, де r – опір одиниці довжини труби, залежне від в’язкості рідини, розмірів і форми поперечного перерізу труби. Зі збільшенням площі поперечного перерізу гідродинамічний опір зменшується.

Уважно подивимося на формулу (2) – вона гідна того. Якщо площа поперечного перерізу труби постійна, то швидкості руху рідини не змінюються уздовж труби, тобто будь-яка частка рідини рухається з постійною швидкістю, без прискорення. Тим не менше, для того щоб рідина рухалася з постійною швидкістю, до неї необхідно прикладати постійну зовнішню силу, тобто створювати різниця тисків на кінцях труби. Позірна суперечність легко знімається, якщо взяти до уваги сили в’язкого тертя, що діють між різними верствами рідини. Фактично зовнішню силу необхідно прикладати, щоб подолати сили в’язкого тертя. Звичайно, сумарна сила, що діє на будь-яку частину рівномірно рухомої рідини дорівнює нулю.

Отже, при русі в’язкої рідини по трубі всередині встановлюється розподіл тисків – тиск лінійно падає при зміщенні вздовж напрямку руху рідини (ріс.134). Підкреслимо, що в даному випадку, прикладена різниця тисків є причиною руху рідини – при стаціонарному русі відбувається встановлення потрібного розподілу тисків уздовж труби.

Можна сказати, що для подолання гідростатичного опору R необхідно докласти різниця тисків (або на опорі відбувається падіння тиску) Δp = RQ.

Направимо координатну вісь X уздовж труби. Нехай в точці з координатою x = 0 тиск дорівнює p0. Застосуємо формулу Пуазейля для шару рідини від x = 0 до довільного значення координати x.

Отриманий розподіл тиску відповідає стаціонарному течією рідини. Якісно розглянемо процес встановлення руху. Нехай довга горизонтальна труба повністю заповнена рідиною, з одного боку всередині труби розташований поршень (мал. 137). У деякий момент часу до поршня починають прикладати постійну силу. Вся рідина в трубі відразу прийти в рух не зможе. Безпосередньо перед поршнем виникне область стиснення, яка почне поширюватися по трубі, приводячи в рух все більш віддалені області рідини всередині труби. Швидкість поширення області стиснення збігається зі швидкістю звуку в рідині. Нарешті, після деякого невеликого проміжку часу в трубі встановиться такий розподіл тиску, який забезпечить сталість швидкості уздовж труби. Саме цей сталий режим ми і розглядаємо.

Завдання для самостійної роботи.

Уявіть витрата рідини у вигляді Q = υ¯¯¯S Q = υ¯S, де S – площа поперечного перерізу труби, υ¯¯¯ υ¯ – усереднена по поперечному перерізі швидкість течії. Використовуючи формулу Пуазейля для круглої труби (1), висловіть середню швидкість течії рідини через різницю тисків, а також через об’ємну густину сили тиску. Що вам нагадують отримані формули?
Побудуйте приблизний графік розподілу тиску в трубі змінного перерізу (що складається з двох зчленованих труб різного радіуса) при русі в ній в’язкої рідини.

Посилання на основну публікацію