Рух матеріальної точки по довільній кривій

Якщо кутова швидкість не є постійною, то має сенс ввести поняття кутового прискорення, яке ми позначимо грецькою буквою ε («епсилон»).

Кутовим прискоренням називається відношення зміни кутової швидкості до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася, при проміжку часу, що прагне до нуля.

Зауважимо, що в даному виразі в чисельнику стоїть зміна модуля швидкості (а не вектора швидкості!). Повне ж прискорення – відношення зміни вектора швидкості до проміжку часу, таким чином, виявляється що складається з двох частин – одна з яких описує зміна напрямку вектора швидкості (це прискорення є доцентровим або нормальним [1]), а друга – зміна модуля швидкості (це прискорення називається дотичним або тангенціальним).

Якщо напрямок вектора швидкості не змінюється, то вектор прискорення спрямований вздовж тій же прямій, що і швидкість, тому слід вважати, що вектор тангенціального прискорення збігається з напрямком вектора швидкості, якщо швидкість зростає і протилежний йому, якщо величина швидкості убуває.

При русі матеріальної точки по довільній кривій, мала ділянка траєкторії можна наближено замінити невеликий дугою кола. Для цього слід скористатися наступним способом побудови такої окружності, який аналогічний побудові дотичній прямій. Нагадаємо, що дотичну можна вважати граничним становищем січною прямою.

Візьмемо ліворуч і праворуч від точки A дві точки A ‘, A’ ‘, що лежать на заданій лінії (рис. 25). Проведемо через ці три точки окружність січну C ‘, (якщо три точки лежать на одній прямій, то ми будемо вважати цю пряму окружністю дуже великого радіусу). Після цього почнемо мислення наближати точки A ‘, A’ ‘до точки A, відповідно змінюючи січну окружність. При прагненні точок A ‘, A’ ‘до точки A січна окружність буде прагнути до граничного положенню C0. Ця гранична коло називається дотичної в точці A, її радіус називається радіусом кривизни лінії в даній точці, а центр центром кривизни.

Таким чином, рух по довільній кривій на малій ділянці можна розглядати як рух по дотичної кола.

Вектор швидкості υ⃗ υ → частинки завжди спрямований по дотичній до лінії траєкторії руху, а вектор прискорення можна розкласти на дві складові (див. Рис. 26) – одна з них, тангенціальне прискорення a⃗ ta → t, описує зміну модуля швидкості і направлено по дотичній до траєкторії, а інша, нормальне прискорення a⃗ na → n, описує зміна напрямку вектора швидкості і направлено перпендикулярно дотичній (по нормалі) до центру кривизни траєкторії (в бік її угнутості).

Сума векторів прискорень a⃗ t a → t і a⃗ n a → n є вектором повного прискорення a⃗ a →. Звичайно, вектор повного прискорення можна представити у вигляді суми проекцій a⃗ x a → x і a⃗ y a → y на довільно вибрані осі координат (рис. 27). Але розкладання вектора на нормальну і тангенціальну складові має два істотні переваги: ​​перше, обидві компоненти a⃗ t a → t і a⃗ n a → n мають явні фізичний зміст; другий, таке розкладання «прив’язується» ні до довільно обраної системі координат, а безпосередньо до траєкторії руху й вектору швидкості.

Посилання на основну публікацію