Розрахунок поля в присутності провідників

Ми вже підкреслювали, що основна проблема розрахунку полів у присутності провідників полягає в появі індукованих зарядів, розподіл яких заздалегідь не відомо. У зв’язку з цим розглянуті раніше методи, засновані на законі Кулона і принципі суперпозиції, в даному випадку виявляються непридатними. Принципово інший підхід до вирішення даної задачі полягає в розрахунку розподілу потенціалу електростатичного поля. Дійсно, на поверхні провідника розподіл заряду не відомо, але адже потенціал провідника постійний!

Сам метод заснований на рішенні рівнянь [1] для потенціалу поля. Самі ці рівняння досить складні і розглядаються в курсі фізики вищої школи, проте, їх фізичний зміст ґрунтується на законі Кулона і зв’язку потенціалу з напруженістю поля.

Проте в деяких випадках можна розрахувати електричне поле і розподіл індукованих на поверхні провідника зарядів, використовуючи штучний прийом, який називається метод зображень.

Нехай в деякій області простору V, обмеженої поверхнею S (в окремому випадку межа області може сягати до нескінченності), задано розподіл зарядів qi (рис. 242).

Електричне поле в виділеної області визначається однозначно, якщо

– Задано розподіл зарядів всередині цієї області;
– Задано розподіл потенціалу на кордоні області.
Зауважимо, що на кордоні області можуть існувати заряди, проте навіть при невідомому їх розподілі, завдання потенціалу на межі однозначно визначає поле всередині області. Тому два різні завдання, але з однаковими розподілами зарядів всередині області і однаковими потенціалами на кордоні мають усередині області однакові рішення. Іноді при невідомому розподілі індукованих зарядів на межі вдається підібрати такий розподіл зарядів поза аналізованої області, що для нового розподілу виполненять граничні умови вихідної задачі. У цьому випадку додаткові заряди називаються зарядами-зображеннями. Пошук зображень має сенс вести тоді, коли нове завдання перебувають простіше вихідної і має просте рішення.

Крім завдання розподілу потенціалу, в якості граничних умов можуть використовуватися і деякі інші, наприклад, значення напруженості поля. Формулюванні граничних умов, з цієї причини приділяється серйозна увага в курсі електродинаміки.

Точковий заряд над плоскою проводить поверхнею.

Розглянемо найпростішу задачу, яка допускає рішення за допомогою методу зображень.

Нехай точковий заряд + q0 знаходиться на відстані l від нескінченної металевої пластини (рис. 243).

Черговий раз ми користуємося моделями – в даному випадку під нескінченною, розуміється пластина, розміри якої значно більше відстані до заряду. Крім того, можна вважати, що пластина заземлена, оскільки вона «стосується нескінченності».

Під дією електричного поля заряду + q0 електрони пластини прийдуть в руху і почнуть накопичуватися під точковим зарядом, створюючи негативний індукований заряд.

Якщо пластина реально заземлена, то ці заряди натекут з заземлення. На великій незаземленої пластині виникнуть позитивні заряди на краях пластини, але так як ці краї знаходяться далеко, то їх полем у розглянутій області можна знехтувати.

Розподіл поверхневої щільності індукованих зарядів на пластині σ не відомо, але відомо, що її потенціал постійний і дорівнює нулю.

Легко придумати іншу задачу, для якої буде виконано таке ж гранична умова. Дійсно, розглянемо поле, створюване двома точковими зарядами q = + q0 і q ‘= -q0, що знаходяться на відстані 2l один від одного (рис. 244). У всіх точках площини, перпендикулярної відрізку, що з’єднують заряди і проходить через її середину, потенціал дорівнює нулю, так як ці точки знаходяться на рівній відстані від двох зарядів рівних за величиною і протилежних за напрямком.

Порівняємо дану просту задачу (два точкові заряду) з вихідною (точковий заряд і індуковані їм заряди σ на провідній пластині): у півпросторі над пластиною розподілу зарядів однакові (в обох випадках – один точковий заряд), на граничній площині потенціали рівні; отже, в цьому півпросторі електричні поля також однакові.

Строго кажучи, ми повинні розглядати замкнуту область простору, тому подумки накриємо заряд + q0 півсферою, що спирається на площину, покладемо її потенціал рівним нулю і устремим її радіус до нескінченності, і таким чином прийдемо до розглянутого Напівпростір (рис. 245).

Таким чином, у верхньому півпросторі завдання еквівалентні – заряди і поле розподілені однаково. Отже, можна стверджувати, що індуковані на металевій пластині заряди σ створюють у верхньому півпросторі таке ж електричне поле як заряд q ‘= -q0, розташований симетрично відносно верхньої поверхні пластини. Отже, для розрахунку електричного поля слід дзеркально симетрично під пластиною розташувати заряд-зображення q ‘= -q0. Підкреслимо, що реально ніякого такого заряду не виникає, його роль – описати поле, створюване реальними індукованими зарядами на поверхні пластини. Зважаючи явною симетрії таке ж поле виникає і в нижньому півпросторі (тобто поле заряду q ‘, розташованого в тій же точці, що й вихідний заряд + q0). Це поле індукованих зарядів складається з полем вихідного заряду, тому і виявляється, що в нижньому півпросторі поле дорівнює нулю, як і повинно бути всередині провідника.

Нехай точковий заряд q знаходиться на бісектрисі прямого двогранного кута AOB, утвореного двома нескінченними провідними площинами (рис. 248). Спробуємо побудувати набір зарядів зображень так, щоб задовольнити граничним умовам – на гранях кута потенціал повинен бути рівний нулю. Перш за все, дзеркально відобразимо вихідний заряд в двох площинах – отримаємо два зображення q ‘. Але ці три заряду не забезпечують рівність нулю потенціалу на гранях кута. Необхідно ще один раз відобразити зображення в інший межі – тим самим з’являється ще один заряд-зображення q ”. Відзначимо, що цей заряд є одночасно зображенням обох зарядів q ‘. Однак його величина також дорівнює q (а не 2q), так як єдине і основне правило побудови – задоволення граничних умов. Легко перевірити, що поле чотирьох зарядів має нульовий потенціал, як на площині OA, так і на площині OB. Таким чином, поле, утворене зарядом q і індукованими на площинах зарядами еквівалентно полю чотирьох точкових зарядів, причому ця еквівалентність виконується тільки в одній чверті кута, що містить початковий заряд. У решти чвертях поле відсутнє. Але картина силових ліній виходить досить симпатичною, якщо побудувати поле чотирьох зарядів, маючи на увазі, що реально поле тільки в одній чверті, тому в інших чвертях воно заштриховано (рис. 249).

Цілком аналогічно можна побудувати поле заряду, поміщеного на бісектрису двогранного кута, величина якого ціле число разів укладається в повному вугіллі, наприклад, у вугіллі 60 °. Шість зарядів, знаки яких чергуються, розташованих у вершинах правильного шестикутника, забезпечують рівність нулю потенціалу на гранях кута.

Зображення заряду в сфері.

Перш, ніж приступити до розгляду наступної групи завдань, пов’язаних з описом взаємодії точкового заряду і провідної сфери, вирішимо одну допоміжну задачу.

Нехай електростатичне поле створюється двома точковими зарядами, що знаходяться на відстані l один від одного. Величини і знаки зарядів різні і рівні q1 і q2. Покажемо, що поверхня нульового потенціалу цього поля являє собою сферу.

Розглянемо, як зміниться картина поля, якщо сфера не заземлена. Потенціал незаземленої сфери відмінний від нуля, але як і раніше постійний, але величина його заздалегідь не відома. Але для ізольованої сфери сумарний індукований заряд дорівнює нулю – у полі точкового заряду відбудеться тільки перерозподіл зарядів по поверхні сфери. Ми можемо домогтися виконання граничних умов, помістивши в центр кулі ще один заряд-зображення q ” = -q ‘(рис. 253). Дійсно, заряди q, q ‘створюють поле, потенціал якого на поверхні сфери дорівнює нулю, а заряд, поміщений у центрі сфери, на її поверхні створює постійний (але не рівний нулю) потенціал, тому еквіпотенційне сфери не порушиться. З теореми Гаусса випливає, що сумарний індукований заряд сфери дорівнює сумі зарядів зображень, тому при виконанні умови q ” = -q ‘, цей заряд виявиться рівним нулю.

Зауважимо, що потенціал однорідного поля змінюється за лінійним законом, тому розподіл потенціалу в такому полі зображується похилою площиною. При приміщенні в це поле проводить кулі на похилій площині з’являється горизонтальна площадка, постійного потенціалу на провіднику.

Завдання для самостійної роботи.

Знайдіть розподіл поверхневої щільності індукованих зарядів на поверхні металевої кулі, поміщеного в зовнішнє електричне поле.

Посилання на основну публікацію