Розподіл тиску в ідеальній рідині, що рухається по горизонтальній трубі

Розглянемо розподіл тиску в горизонтальній циліндричній трубі, повністю заповненою рідиною. Для цього розташуємо на трубі ряд вимірювальних манометрів, висота рівня рідини в яких буде показувати величину тиску в даному місці труби.

Якщо рідина нерухома, то тиск рідини (і відповідно висоту рідини у вимірювальних трубках) будуть однакові в усіх точках труби (рис. 124).

Для ідеальної рідини (тобто при нехтуванні силами в’язкого тертя) тиск всередині горизонтальної труби залишається постійним і при рівномірному русі рідини – в цьому випадку немає необхідності долати сили опору.

Досліджуємо тепер розподіл тисків всередині труби змінного перерізу при русі ідеальної рідини. Нехай труба складається з двох зчленованих частин, площі поперечних перерізів яких дорівнюють S1 і S2 (рис. 125). У такій трубі при русі навіть ідеальної рідини в області зчленування повинна існувати область зміни тиску. Дійсно, згідно з рівнянням нерозривності швидкості руху рідини в різних частинах труби пов’язані співвідношенням υ1S1 = υ2S2. Тому, при переході рідини з більш широкої в більш вузьку частини труби швидкість рідини повинна зростати, що може статися тільки завдяки дії сили, обумовленої різницею тисків в вузькою та широкою частинах. Причому тиск в ширшій частині повинно бути вище.

Для спрощення розрахунку різниці тисків уявімо собі, що в обох частинах труби розташовані легені рухливі поршні. Крім того, пренебрежем силами в’язкого тертя, тобто будемо вважати рідина ідеальною. Нехай поршень в лівій частині труби змістився на відстань h1, тоді поршень у правій частині зміститься на відстань h2. З умови несжимаемости рідини зміщення поршнів пов’язані співвідношенням h1S1 = h2S2 = V, де V об’єм рідини пройшов через поперечний переріз труби. На лівий поршень діє зовнішня сила F1 = p1S1, робота зроблена цією силою при зміщенні поршня буде дорівнює A1 = p1S1h1. Правий поршень виконає роботу (по переміщенню рідини за поршнем) A2 = p2S2h2. Крім того, при переміщенні рідини зростає кінетична енергія рідини, що пройшла через місце зчленування. Збільшення кінетичної енергії одно ΔEk = ρS2h22υ22-ρS1h12υ21 ΔEk = ρS2h22υ22-ρS1h12υ12. За законом збереження енергії робота, здійснена над лівим поршнем зовнішньою силою, дорівнює сумі роботи, зробленої правим поршнем над «зовнішньої» рідиною, і зміні кінетичної енергії системи: A1 = A1 + ΔEk. З урахуванням умови сталості об’єму рідини, це рівняння набуває вигляду

p1-p2 = ρυ222-ρυ212 p1-p2 = ρυ222-ρυ122. (1)
Таким чином, ми отримали величину стрибка тиску в місці зчленування труби, яка квадратично зростає із зростанням швидкості течії.

На малюнку 126 схематично показано розподіл тиску уздовж осі труби, стрибок тиску відбувається в області зчленування. При швидкості руху рівною нулю, тиск постійно у всіх точках рідини. З рівняння (1) можна обчислити швидкості руху і витрата рідини в залежності від прикладеної різниці тисків

Як випливає з отриманої формули, витрата рідини не пропорційний прикладеної різниці тисків – так, для збільшення витрати рідини в два рази, різниця тисків повинна бути збільшена в чотири рази.

Завдання для самостійної роботи.

З формули (1) випливає, що стрибок тиску не залежить від напрямку руху рідини. Поясніть отриманий результат. У яку ж сторону рухатиметься рідина, якщо до кінців труби докласти деяку різницю тисків?
Намалюйте сили, що діють на рухому рідину в трубі змінного перерізу з боку стінок труби.
З формули (2) випливає, що при вирівнюванні площ поперечного перерізу труб (S2 → S1) витрата рідини прагне до нескінченності. Поясніть цей результат. Чи можна застосовувати цю формулу при S2> S1?

Посилання на основну публікацію